120 BÄCKLUND, OM DEN PLANA KURVAN AF TREDJE ORDNINGEN. 
Satserna (15, 16) lära oss, att af en på nämda sätt be¬ 
skaffad polygon, omskrifven A och B , medelst en kurva af tredje 
ordningen bilda andra polygoner, med samma eller med hälften 
och med dubbelt så stort antal sidor som den första, hvilka po¬ 
lygoner äro inskrifna i K samt omskrifna A och en andra kurva 
af samma beskaffenhet som B. 
Anm. Den korrelativa transformationen af denna artikels 
satser lemnar oss egenskaper för kurvor af tredje ordningen, som 
hafva en dubbelpunkt. 
29. Af den uppställda motsvarigheten emellan punkter på 
en kurva af tredje ordningen å den ena sidan och kurvor af tredje 
klassen å den andra sidan framgå relationer emellan två kurvor af 
tredje ordningen, som tangera samma sex räta linier, utgående 
från en punkt o. Dylika kurvor motsvara en och samma serie 
(27) kurvor C (p) , C (p '\ . . .; och ensamt på grund häraf berättigas 
man till följande slutsats: 
Om C 3 , G\ äro två kurvor af tredje ordningen, af hvilkas 
gemensamma tangenter de sex ga genom en och samma punkt 
o, och från en punkt p på C 3 dragas denna kurvas fyra tan¬ 
genter; så skola de fyra sammanbindningslinierna emellan o och 
dessa sednare tangenters fyra beröringspunkter träffa C 3 i tolf 
punkter, af hvilka fyra äro beröringspunkter med tangenter till 
0 3 , som ga genom en skärningspunkt p! emellan denna kurva 
och räta linien op. 
Benämna vi punkterna p, p' såsom hvarandra motsvarande 
punkter, så kunna vi äfven säga, att de punkter på C" 3 , som 
motsvara två ändpunkter för en Steiners polygon med 2 n si¬ 
genom b'. Följaktligen, om a,b äro ändpunkter för en Steiners polygon med 
2 n sidor, måste äfven a',b' vara ändpunkter för en Steiners polygon med 
samma antal sidor, — båda polygonerna motsvarande den samma i K in¬ 
skrifna samt A och B omskrifna polygonen. Nu är y, sålunda ock n arbi¬ 
trär; derföre, om man sammanbinder ändpunkterna a,b för en Steiners po¬ 
lygon till C z med en tredje arbiträr punkt n på denna kurva, blifva liui- 
ernas öfriga skärningspunkter med kurvan äfvenledes ändpunkter till en Stei. 
ners polygon med samma antal sidor. — Detta är den förut (14) anförda 
satsen af Clebsch, hvilken sålunda är en omedelbar följd af lagen (10) för 
motsvarigheten emellan punkter på C 3 och koniska sektioner i en knippa. 
