152 
'»Bevis. Emedan serien (6) är convergerande för hvarje 
»#-valör från och med x o till och med X , måste — ehvad 
»valör än må tilldelas x, blott att den icke öfverskrider 
»nämnde gränser — samman 
fnU x ) + fnU x ) + f,A x ) + etc., 
»— 2 kjt (k helt tal eller o) continuerlig function af x, eftersom 
»denna summa t. ex. för hvarje j?-valör inom gränserna tc och o 
»är 
n—x 
~ 2 ~ 
men =o för x=cr, och likväl kan icke nekas, att 
»denna series termer äro continuerliga functioner af x i granska- 
»pet af den partikulära valören x—o , för hvilken äfven sjelfva 
»serien är convergerande. ' 
»Att det ofvanstående theoremet är oberoende af detta slags 
»objectioner, inses lätt af delsammas bevis. — Så t. ex. är väl 
»serien (a) convergerande för hvarje uppgifven .r-valör inom grän- 
»serna o och 2ti\ men ingalunda är man derföre berättigad till 
»det omdöme, att serien är convergerande för hvarje #-valör från 
»och med den ena gränsen till och med den andra. Tvärtom kan 
»man just på grund af vårt ofvanstående theorem vara förvissad 
»att så icke är. — 
»l sammanhang härmed må vid detta tillfälle erinras om en 
»i serietheorien ganska vigtig omständighet, hvarvid författare un- 
»derstundom befinnas ännu icke fästa tillbörlig uppmärksamhet, 
»ehuru å andra sidan torde få antagas, att man om sjelfva saken 
»redan länge varit temligen öfverens, den omständigheten nemii- 
»gen, att, sedan man tillafventyrs funnit en serie, hvars termer äro 
»functioner af en variabel x, vara convergerande för hvarje x-valör 
»intill en viss gräns X, man icke må tilltro sig att deraf sluta till 
»seriens convergens äfven för x-valörer in de finit nära intill nämnde 
»gräns. Att sådan slutsats icke är legitim vid sådana serier, som 
»äro divergerande för x—X, derom synes intet tvifvel vara; t. ex. 
»vid serien 
(b) cos#, £cos'2ft, Jcos3^, etc., 
»som är convergerande för hvarje uppgifven ar-valör inom grän- 
»serna o och 2rt-, men divergerande för sjelfva dess gränsvalörer. 
»Men att serien (a), som väl kan sägas vara convergerande äfven 
»för dessa gränsvalörer, ändock icke är convergerande för x-vn- 
»lörer, som, begränsade af o och 2 tt, supponeras närma sig der- 
»intill indefinit, är icke så alldeles sjelfklart. I sådana fall kan 
»vårt ofvanstående theorem esomoftast tjena till undanrödjande af 
»all tvekan. — Emedlertid, i en sak, så bekant som denna, om 
»ock icke alltid nog uppmärksammad, behöfves ingen vidlyftighet; 
»det torde dock icke vara utan sin nytta att en gång hafva i 
»tydliga ord omnämnt förhållandet. 
