155 
städse blir indefinit liten för indefinit stora helt-lals-valörer 
af n och n>n, så är serien convergerande för hvar je sä¬ 
dan x-valör, och etc., så består uppenbarligen denna olikhet 
endast i ett olika sätt att uttrycka samma vil kor, alldenstund 
serien (6) endast då är convergerande, när den i Hr Cauciiys 
theorem nämnda egenskapen hos summan (4') eger rum. — 
Härvid bör dock icke lemnas onämndt, att Hr Cauchy’s nya 
theorem är i så måtto vidsträcktare än det i Nova acta, att 
det sednare — både till énoncé och bevis — är inskränkt till 
serier med endast reela termer, då deremot det förra omfattar 
äfven serier med imaginära termer (neml. imaginära functioner 
af en reel variabel). I hvilket afseende likväl må erinras, att 
man, för att göra theoremet i Nova acta lika vidsträckt, en¬ 
dast behöfver i dess énoncé uttaga orden »af reela termer » 
och efter det ofvan citerade beviset — hvars grundlighet, i 
anseende till sakens vigt, väl torde förtjena uppmärksamhet — 
tillägga den anmärkning, att när termerna (6) icke äro reela, 
men likväl (enligt suppositionen) continuerliga functioner af x 
mellan lim ites, dels enhvar af dem nödvändigt kan sättas un¬ 
der formen 
<?„(*)+ ' 'M», 
neml. hvardera af (p n {x) och vp n (pc -) en sådan function af x , 
som f n [x) i det föregående beviset supponerades vara *), dels 
ock hvardera af serierna 
<?,(*), <p s {x), etc. 
'h( x )> 'P l x )» 'f'sC*). etc - 
nödvändigt är en sådan, som i samma bevis serien (6) suppo¬ 
nerades vara, hvarefter conclusionen är sjelfklar. — Erkännas 
bör ock, att Hr Cauchy i samma sin uppsats omedelbart efter 
det nu omnämnda theoremet angående serier, hvilkas termer 
äro functioner af en reel variabel, i korthet deducerat ett ana- 
*) Se t. ex. min afhandling »Om det Cauchi/ska kriteriet på de fall, 
då functioner af en variabel låta utveckla sig » etc. mot slutet af 
art. 2 (Vetensk. Akademiens Handl. för år 1852, sid. 175.) 
