— 158 — 
cJigniteterna af x, att, om en sådan befunnits vara converge- 
rande för någon speciel x-valör = X, den verkligen är con- 
vergerande för h varje x-valör (utan af brott), som icke ligger 
utom gränserna x = o och x — X*); hvarföre man ock utan 
tvekan kan, sedan man funnit en sådan serie vara converge- 
rande för någon speciel x- valör =X, deraf sluta, att seriens 
summa är en continuerlig function af x mellan gränserna x=o, 
x=X. 
Slutligen torde, med anledning af de näst före anmärk¬ 
ningen i början af närvarande uppsats citerade orden ur Hr 
Arndt’s afhandling, få som hastigast vidröras ännu ett moment 
af serietheorien, som man icke sällan finner vara lemnadt å 
sido. Man synes nemligen understundom obehörigen identificera 
en seriesumma 
(6) fi{ x )+fj,x)+l s (x)+ etc. 
med den function F(pc), som man tilläfventyrs funnit vara con- 
gruent med denna seriesumma mellan vissa gränser **), då det 
likväl ganska ofta kan inträffa, att serien 
/',(*) > A04, fJ*) > etc - 
*) Denna sats äfvensom det bevis för densamma, som jag uppgifvit 
i Nova acta T. XII! pag. 158, utgöra hvardera en af behofvet 
påkallad ny redaktion af Abels motsvarande sats och bevis ( Oeuvr . 
compl. T. I p. 69). 
**) Så t. ex. synes Hr Arndt i de nyssnämnda citerade orden (tagna 
i sammanhang med det näst förut i hans uppsats yttrade) vilja 
bedömma naturen af seriesumman 
x 2m {\ — x) + x 2ni+2 (t — x ) + etc. 
efter functionen 
gp.ni 
\-\-x 
äfven för ^-valörer indefinit nära intill 1, då likväl för sådana 
^-valörer dessa båda alldeles icke äro identiska (se anmärkn. näst 
efter de citerade orden). 
Samma inadvertens måste man med allt skäl tillvita enhvar, 
som angående serien (l) påstår dess summa vara = ^ cp äfven 
för g)-valörer indefinit nära intill rt eller — n . Man kan visser¬ 
ligen säga, att summan 
sin g) — |sin 2cp + Jsin 3cp r 1 etc, 
är = för hvarje uppgifven #-valör numeriskt <^7T y men all- 
