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dimostrare che, quante volte la variabile X l segna approssimativamente la legge 
normale degli errori, la variabile p — p> non può seguire una legge sensibilmente 
diversa. 
Sempre con riferimento alla variabile X l , esaminiamo se è vero il seguente 
teorema :. 
« Se X e Y sono due variabili casuali iridipendenti, se le variabili Y e 
« Z= X-\-Y seguono la legge normale degli errori, la variabile X non può seguire 
« una legge diversa ». 
L’analisi di tale proposizione, sulla quale non mi risulta che altri si sia fer¬ 
mato, si riconduce facilmente al noto teorema di inversione di Fourier ( 5 ). 
Si ha, per ipotesi, 
(43) 91&X==91kF==01&Z==O 
e ponendo 
(44) ms>X 2 = m , ■meY 2 = n, 
si può scrivere, poiché X e Y sono supposti indipendenti, 
(45) 
91 bZ 2 = m n . 
Cerchiamo il valore medio di cosa(X-f-F) in cui a è un parametro arbitrario. 
Indicando con (p{x ) la legge di probabilità incognita, relativa alla variabile X, 
e essendo, per ipotesi, 
(46) 
1 
y'2 nn 
e 
y*_ 
2 n 
la legge di probabilità relativa alla variabile Y, il valore medio cercato è dato da 
(47) 
V 
p + QO /"'-t-CO | — -j— 
(p(x)—=e cos a[x -j- y) dx dy. 
J-o o J-oo 1/ 2nn 
J/2 
D’altra parte, poiché la variabile Z~X-\-Y segue, per ipotesi, la legge nor¬ 
male degli errori, lo stesso valore medio è dato da 
(48) 
Y'+oo 
J — 00 
oo \ 2n(m -f- n) 
e 2 ( w ^ n "> cos az dz — e 2 
-ò-(>»--») 
Dobbiamo scrivere che la (47) è eguale alla (48). Osservando che la (47) si 
riduce a 
2 n 
r-t-n 
(49) q)(x) cos ax dx —= 
' J- 00 J- 00 1 / 2 ? 
■j/2 nn 
~~5 n r +cc 
cos ay dy — e z ) y(x) cos ax dx , 
( 5 ) Cfr., sull’argomento, Poincaré, Calcili des probabilités [Gauthier-Villars, Paris, 1912], 
pag. 207 e segg. 
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