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(calcolato rispetto al dst) e della seconda forma fondamentale 
D du* + 2D' du dv + D" dv* 
della S„ ; precisamente si ha 
t h du* -j—_2-r 12 du dv -f- r tì dv 2 = 
= R n du 1 -j- 2R 12 dudv -j- R 22 dv 1 rt |/l — J 1 R ( Ddu 2 -f- W du dv + D" dv *), 
il doppio segno riferendosi alle due falde dell’ inviluppo. 
Le formolo che vengono così a stabilirsi si prestano assai bene, pel loro carat¬ 
tere in vacantivo, allo studio di quella che indichiamo come deformazione della 
congruenza di sfere , quando cioè la supertìcie dei centri si deformi per flessione, 
seco trasportando invariabilmente le sfere. In tal caso, rimanendo fissi tutti gli altri 
elementi, variano D , D', D", a nessun altro vincolo assoggettati che di soddisfare 
alle relative equazioni di Codazzi e Gauss, rispetto alle superficie dei centri. 
11 rotolamento di superficie applicabili non è che un caso particolare della de¬ 
formazione delle congruenze di sfere, quando si supponga che, in una configurazione 
iniziale, tutte le sfere passino per un punto 0, ovvero siano tangenti ad un piano 
fisso 71 . In corrispondenza a questi due casi, si hanno le superficie di rotolamento , 
generate da un punto satellite 0 che accompagna invariabilmente la superficie ro¬ 
tolante S 0 , ovvero gli inviluppi di rotolamento, superficie inviluppate da un piano 
satellite n , rigidamente trascinato da S 0 nel suo rotolamento. Si presentano qui due 
problemi fondamentali e cioè: data una superficie 2, trovarne tutte le eventuali 
generazioni come supertìcie di rotolamento, ovvero come inviluppo di rotolamento. 
Non è a priori evidente che questi problemi di roulettes a due dimensioni debbano 
essere solubili per qualunque superficie 2 con arbitrarietà dipendente da due fun 
zioni arbitrarie. Ma in effetto si prova che ogni supertìcie 2 determina infinite 
coppie (S,, S) di supertìcie applicabili, dalle quali viene generata come superficie, 
0 come inviluppo di rotolamento. La determinazione di queste infinite coppie (S 0 , S) 
dipende, ogni volta, da un’equazione a derivate parziali del secondo ordine, affatto 
analogamente come la determinazione delle forme che assume una supertìcie per 
flessione, e i problemi ora confrontati possono dirsi dello stesso ordine di difficoltà. 
L’integrazione completa della accennata equazione, pel primo problema fondamentale 
del rotolamento, non sembra possibile coi mezzi attuali, che nel caso in cui la su¬ 
perfìcie assegnata di rotolamento sia un piano ovvero una sfera. In questo caso ele¬ 
ganti formole dovute al prof. Calò assegnano, in termini finiti, e dipendentemente 
da una funzione arbitraria di variabile complessa, le infinite coppie (S 0 , S) di super¬ 
ficie applicabili, che dànno luogo a tutte le possibili generazioni del piano 0 della 
sfera come superficie di rotolamento. In altri casi, delle equazioni fondamentali pel 
rotolamento si possono assegnare integrali particolari, dipendenti da costanti arbi¬ 
trarie; così p. e. per le generali supertìcie a linee di curvatura isoterme, 0 per le 
superficie a rappresentazione isoterma delle linee di curvatura. 
Nella seconda parte della Memoria (§ 27 a 58) passo a trattare di una classe 
particolare di problemi sulla deformazione delle coogruenze di sfere; sono questi 
