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problemi nei quali si impone all’ inviluppo di soddisfare, in qualunque deforma¬ 
zione , ad una determinata condizione geometrica. Appartengono a questa classe le 
mie ricerche del 1899 sulla inversione dei celebri teoremi di Guichard relativi alle 
deformate delle quadriche rotonde riportate nel Cap. XVII, voi. II delle Lezioni. 
Qui vengono riprese nuovamente colle forinole generali della presente Memoria, le 
quali consentono una trattazione più simmetrica del problema, facendolo dipendere 
dalla compatibilità di notevoli sistemi di equazioni a derivate parziali del secondo 
ordine. 
Passo quindi a trattare, dapprima in generale, delle trasformazioni di Ri- 
baucour per congruenze di sfere sulle cui falde dell' inviluppo si corrispondono le 
linee di curvatura (congruenze di Ribaucour). 
Le trasformazioni delle superfìcie a curvatura media o totale costante che na¬ 
scono dalla inversione dei teoremi di Guichard appartengono a questa classe e ven¬ 
gono qui dette trasformazioni di Ribaucour-Guichard. Fra le trasformazioni di 
Ribaucour esse sono caratterizzate da ciò che fra le quattro funzioni trasformatrici 
ha luogo una particolare identità quadratica a coefficienti costanti. Questo mi porge 
occasione, sostituendo pei coefficienti valori costanti qualunque, di considerare una 
classe più estesa di superfìcie, fra le quali si trovano le superfìcie secondarie dei 
sistemi tripli ortogonali di Weingarten. 
In fine riprendo, dal punto di vista della teoria del rotolamento, le importanti 
trasformazioni D m di Darboux delle generali superfìcie isoterme. Queste sono trasfor¬ 
mazioni di Ribaucour caratterizzate in un primo modo da ciò che le sfere della con¬ 
gruenza segnano coi loro punti di contatto una corrispondenza conforme fra le due 
falde dell’inviluppo. Ma un secondo modo di caratterizzarle, che è appunto quello 
qui adottato, dipende dalla proprietà esclusiva di queste congruenze che una conve¬ 
niente deformazione della superfìcie dei centri riduce le sfere a passare per un punto. 
Le trasformazioni D m dànno così, per ogni superfìcie isoterma, oo * generazioni della 
superfìcie come superfìcie di rotolamento. Trovano qui posto (§§ 53, 56) le recenti 
ricerche del Calapso, dalle quali risulta che le congruenze di sfere ottenute da quelle 
conformi di Darboux per trasformazioni di Combescure dànno tutte e sole le con¬ 
gruenze di sfere, sulla cui superfìcie dei centri il sistema coniugato corrispondente 
alle linee di curvatura delle due falde focali è permanente in una deformazione 
finita. Infine un problema duale di rotolamento di quello relativo alla generazione 
delle superfìcie isoterme quali superfìcie di rotolamento, mi dà occasione di parlare 
della generazione delle superfìcie a rappresentazione isoterma delle linee di curva¬ 
tura quali inviluppi di rotolamento. Si ha così per queste superfìcie una classe di 
trasformazioni (di Ribaucour), particolarmente studiate da Bisenhart, le trasforma¬ 
zioni E m . Sono speciali trasformazioni E m le trasformazioni di Ribaucour-Guichard 
per le superfìcie ad area minima, e le generali E m si deducono del resto tutte da 
queste mediante trasformazioni di Combescure (*). 
(’) Pei frequenti riferimenti alle mie Lezioni di Geometria differenziale (2® edizione in tre 
volumi, Pisa! Sporri, 1902-1909) citerò soltanto il volume ed il paragrafo, o pagina. 
