— 418 — 
§ 2. 
Le due falde dell’inviluppo. 
Come per ogni doppia infinità di superficie, vi è luogo di domandare se esiste 
per la nostra congruenza di sfere un inviluppo. Per questo bisogna vedere se è pos¬ 
sibile segnare sopra ogni sfera ( u , v) della congruenza un punto P, in modo che 
la superficie 2 luogo di P tocchi in questo punto la sfera. Indicando con a , /? , y 
i coseni di direzione del raggio OP, diretto verso il centro, le coordinate 
di P saranno date da 
(4) t — x — R« , r] = y—Ufi , £ = 
e converrà quindi determinare a, /?, y in guisa che sussistano le relazioni 
(5) Sa — = 0 , Sa — = 0 , 
le quali esprimono appunto che la normale alla superficie 2, colle equazioni para¬ 
metriche (4), coincide col raggio OP, e inoltre la relazione fra i coseni 
( 6 ) 
Siccome di qui segue 
e dalle (4) abbiamo 
~è% _ ix _^ R — 
iu iu iu in 
il_ 
iv iv iv iv ’ 
Sa 2 = 1. 
Sa —= 0 
iu 
Sa — = 0 , 
le (5) equivalgono alle altre 
(5*) 
iR 
iu 
iR 
iv ' 
Per trarre i valori di a, fi , y da queste e dalla (6), si pongano sotto la forma 
i « = A — -f B— -f-CX 
I iU ÌV 
/ ? = A — + B — -|-CY 
^ iu ~ iv r 
Y = A^ + B^ + CZ, 
iu 1 
( 7 ) 
