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immaginarie coniugate se J x R>1 e reali coincidenti per i,R = l. In quest’ul¬ 
timo caso sulla superficie S 0 dei centri le linee R = cost. sono geodeticamente pa¬ 
rallele, ed è precisamente R l’arco delle geodetiche ortogonali, contato a partire da 
una linea R — cost. 
Distinguendo le due falde — , 2 dell' inviluppo e denotando le quantità relative 
alla seconda con un soprasegno, avremo 
( 10 )* 
( 11 *) 
^ a = V (<£, R)-{-f/l—-^ìR.X 
^ a = V (x , R) — |/l — ri ! R . X 
| ì — x — R V {x , R) — R f/l — R . X 
^ ì = x — R V (x , R) -|- R Vi — R • X , eec. 
Nel seguito scriveremo sempre le sole formole relative alla prima falda 2, 
avvertendo una volta per tutte che, per avere le corrispondenti della seconda falda 2, 
basterà cangiare dappertutto il segno del radicale \/\—//, R nell’opposto. 
Osservando le formole 
= Rj/l — J,R . X 
L+i 
2 
x — Rv(cci R), 
si vede che in generale: Vinviluppo della congruenza di sfere consta di due 
falde 2 ,2-, ogni sfera di centro 0 tocca le due falde in una coppia di punti 
P ==(£,/;,£) , P==(£,J/,£) ( corrispondenti) che sono simmetrici rispetto al 
piano tangente in 0 alla superficie S 0 luogo dei centri. 
Nel caso eccezionale 4^=1 le due falde 2.2 coincidono in una evolvente 
della superficie dei centri, e questa evolvente, data dalle formole 
£ = x — K V (as, R), 
ha per normali le tangenti alle geodetiche ortogonali alle R = cost. Aumentando R 
di una costante, si ha l’intera serie delle evolventi parallele. 
Però questo caso i, R = 1 s’intenderà nel seguito sempre escluso dai nostri 
calcoli, salvo quando si avverta il contrario. 
§ 3. 
Deformazione della congruenza di sfere. — Teoremi di Beltrami, 
Dupin e Malus. 
Prendiamo la prima falda 2 dell’ inviluppo e indichiamo con w, , w 2 , a gli an¬ 
goli che la normale (a , , y) a 2 forma rispettivamente colle tangenti sulla super¬ 
ficie S 0 dei centri alle linee coordinate v — cost. , u =■ cost. e colla normale 
