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(X , Y , Z) alla S,, onde avremo 
cos — S 
ì/a t , v 
— , COSff = SaX , 
indi dalle (10) 
\/ a u ìu 
COS CO2 = 
-: - , COS o = \! \ — z/, R . 
V<ht ì v 
In queste forinole entrano a destra elementi che dipendono soltanto dalla prima 
forma fondamentale (1) di S 0 , e nulla affatto dalla seconda (2). Per ciò se la S 0 , 
flessibile ed inestendibile, si deforma comunque,, gli angoli &>! , <w 2 , a non variano, 
ossia il raggio OP che dal punto 0 di S 0 va al punto P, ove la sfera di centro 0 
tocca 2 , rimane invariabilmente legato alla superfìcie S 0 , e lo stesso accade natu-' 
ralmente del suo simmetrico OP per la seconda falda 2. In altre parole: Se la 
congruenza di sfere si deforma comunque (per flessione della superficie dei centri), 
i due punti P,P ove ciascuna sfera tocca rispettivamente le due falde dell’in¬ 
viluppo, serbano sulla sfera stessa una posizione invariabile. 
In questo semplice risultato sono inclusi il teorema di Beltrarai, relativo alla 
deformazione delle congruenze rettilinee normali, e quello di Dupin per la rifles¬ 
sione di siffatte congruenze. 
Riguardo al primo, si osservi che se i raggi della congruenza emanano dai 
punti 0 di una superficie S 0 e sono normali, ciascuno in un punto P, ad una super¬ 
fìcie 2, le sfere descritte col centro in 0 e di raggio OP formano una congruenza 
di cui 2 è una delle falde dell’inviluppo, e la seconda 2 è descritta dal punto P 
simmetrico di P rispetto al piano tangente di S 0 in 0. Ora quando S 0 si deforma 
per flessione, trasportando seco invariabilmente i raggi OP,OP, questi formeranno 
sempre congruenze normali. 
Dunque: la congruenza normale di raggi OP rimane sempre normale, comunque 
deformando la superfìcie di partenza dei raggi, ciò che è il teorema di Beltrami. 
In secondo luogo, siccome i raggi OP sono quelli riflessi sulla superficie S 0 
degli incidenti OP, così: la congruenza normale di raggi rimane normale dopo rifles¬ 
sione su qualunque superficie, e quindi anche dopo un numero arbitrario di tali ri¬ 
flessioni. Questo è il teorema di Dupin. Il teorema analogo per la rifrazione (Malus) 
segue anche con facilità dalle formolo precedenti, ove si osservi che l’ultima delle 
(12) dà 
(13) sen <r = ]/ R . 
E allora se alteriamo tutti i raggi delle sfere in un rapporto costante n , per la 
seconda congruenza di sfere coi raggi R' =»R, indicando con accenti le quantità 
relative, avremo dalla (13) 
sen a’ = ]/ R' = n ]/ R , 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XII, Ser. 5 S . 
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