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ossia — 1 — = n . Poi dalle (10*) risulta 
sen <r 
a = n\7{x , R) \/l — K . X , 
cioè 
a' = n a — n 2 sen 2 a — n cos tf) X . 
Queste forinole dimostrano che i raggi OP , OP' e la normale in 0 alla S 0 giacciono 
sen c r 
in un piano, e poiché ■ — ^ = n, il raggio OP' è il ritratto del raggio OP inci¬ 
dente su S 0 , essendo n l’indice di rifrazione. Dunque: ogni congruenza rettilinea 
normale si conserva normale dopo rifrazione (Malus). 
§ 4 . 
Forinole per le derivate dei coseni «,/?,/. 
Procediamo ora alla ricerca delle forinole fondamentali che assegnano, in coor¬ 
dinate curvilinee qualunque u,v, gli elementi delle due falde 2,2 dell’inviluppo 
di sfere, nella qual cosa basterà eseguire i calcoli per la prima falda (§ 2). Con¬ 
viene innanzi tutto calcolare le derivate rapporto ad u , v dei coseni a , § , y dati 
dalle (10*) per mezzo delle formole (A), (B*) § 1, e osservando che per le deri¬ 
vate di V(x , R), valgono le formole seguenti (‘): 
(’) In generale se rispetto ad una forma differenziale in n variabili / a r sdx r dx s si consi 
r,s 
dera il parametro differenziale misto y(U, V) di due funzioni arbitrarie 
/TT v* . MI cW 
y (U ,T)= 
dalle formole (a*) a pag. 349 del voi. II delle Lezioni si hanno le forinole 
77 à x r 
e per U ■= V 
1 à V.U 11 a TT 
O -r— = > A rs — U<,. 
2 ÙXi 
Le formole utilizzate nel testo seguono subito da queste generali e dalle (A*) § 1. 
