Primo problema di deformazione. 
Le forinole ora stabilite possono subito applicarsi a due problemi di deforma¬ 
zione che conducono alle ben note equazioni dell’applicabilità cui soddisfano: 1°) la 
distanza di un punto variabile della superficie flessibile da un piano fisso nello 
spazio, 2°) la distanza da un punto fisso (*); e d’altra parte essi collegano la teoria 
delle congruenze di sfere alle questioni del rotolamento che ci occuperanno fra breve. 
Il primo dei due problemi accennati si enuncia: 
Riconoscere se una data congruenza di sfere può deformarsi, per flessione 
della superficie dei centri S 0 , in guisa che, dopo la deformazione , le sfere ven¬ 
gano tutte a toccare un piano fisso n. 
Sia S la supposta configurazione della S,, e siano D , D', D" i valori che acqui¬ 
stano C \ i , c lt , c 22 per questa deformata S. Siccome nella configurazione S la falda 2 
dell’ inviluppo deve ridursi ad un piano, le sue normali debbono riuscire parallele, 
cioè a , fi , y ridursi a costanti, e viceversa se a , fl , y diventano costanti, la falda 2 
si riduce ad un piano. È adunque necessario e sufficiente che si annullino, nella 
configurazione finale S, le derivate di cioè per le (16) che diventino zero 
i sei coefficienti 
X ,v ; X ', p !, v'. 
Dalle formole (18), (18') segue che ciò equivale all’annullarsi di r u ,T lt ,T„, 
quindi i valori D,D',D" che debbono acquistare Cn , c^ , c ìt sono pienamente fis¬ 
sati per le (17) dalle formole 
(19) D = - Kl1 -— . , D' =* , Rl * = , D" — . 
]/\ - z/, R \/l — Jy R t/1 — Jy R 
Per la possibilità del problema non resta più altro da esprimere che questi 
valori di D , D', D" soddisfano alla equazione (a) di Gauss ed alle ( b ) di Codazzi 
(§ 1). La prima diventa 
Rii R 22 — P?2 _ 
(«„«„ — <&)( 1-^,R)~ 01 
ovvero 
(I) ^>>2 R = K 0 (l — i,R), 
che è appunto la prima equazione dell'applicabilità ( Lezioni , loc. cit.). Ma, una 
volta soddisfatta questa, è facile verificare che i valori (19) di D , D\ D" soddisfe¬ 
ci Lesioni, voi. 1, § 46, 
