ranno anche alle equazioni ( b ) di Codazzi. Questo discende dalle seguenti identità 
generali per le derivate seconde covarianti di una qualsiasi funzione <D = <t>(v , v): 
ìt 
~ìv ~òu 
( 20 ) 
22 
D U 
„ / ìG>\ , (12) . . 
,n i2 i pru s n u 
Wlt v I W 
-— m K ° a i* 
7>y \ ìv 
\ ( 22 ) 
;)u I 
+ 
“iir“ + 
_ l 2 r 
m 1 2 ( 
4" ' 2 ( ® 22 O 
Sostituendo nelle equazioni di Codazzi i valori (19) per c u , c l2 , c 22 e tenendo conto 
di queste ultime identità, e della (I), cui per ipotesi soddisfa R, si verifica subito 
colle (15) § 4 che si ottengono due identità. Concludiamo quindi: 
Condizione necessaria e sufficiente affinchè la congruenza di sfere sia defor¬ 
mabile in guisa che una delle falde focali si riduca ad un piano , è che il raggio 
R = R(m,u) delle sfere soddisfi alla p> ima equazione (I) dell’applicabilità, e la 
deformazione risulta pienamente determinata dalle formole (19) (*). 
Questo rappresenta, sotto altra forma, il ben noto risultato che, se R soddisfa 
la (I). esiste una deformata S della S 0 per la quale R rappresenta la distanza 
(algebrica) dei punti (u , v) di S ad un piano tìsso, ed anzi si sa che in tal caso : 
la determinazione effettiva della S si compie con sole quadrature (voi. I, § 109). 
Secondo problema di deformazione. 
In modo perfettamente simile trattiamo il secondo problema: 
Quando è che la congruenza di sfere è deformabile in guisa che , a defor¬ 
mazione compiuta , le sfere vengano tutte e passare per un punto /isso ? 
(') In generale per una forma differenziale in n variabili w,, m« ,..., m» e per una qualunque 
funzione # sussiste la forinola 
ò$ik _ ~ò$n 
du l ì)Uk 
Nel caso n = 2, ricordando le quattro espressioni della curvatura K 0 pei simboli a quattro indici 
di seconda specie (voi. I, pag. 77), si hanno le formole (20) del testo. 
(*) Propriamente, secondo che si vuole ridurre ad un piano la prima o la seconda falda si 
hanno dalle (19) due soluzioni, che corrispondono a valori eguali e di segno contrario di D , D',D", 
cioè a superficie deformate simmetriche l’una dell’altra. 
