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questo è il Jacobiano delle due forme quadratiche fondamentali della congruenza 
delle sfere eguagliato a zero. 
In particolare, se si prendono a linee coordinate (u , v ) sopra S quelle che cor¬ 
rispondono alle linee di curvatura di 2 , le due forme fondamentali saranno ridotte 
insieme a forma canonica, avremo cioè 
F 0 = 0 
ossia simultaneamente 
*12 = 0 
(33) 
Si vede quindi che per qualunque superficie S esistono infiniti sistemi curvilinei 
(u , v) pei quali hanno soluzioni comuni in R le due equazioni (83), rispettivamente 
del primo e del secondo ordine, e si ottengono tutti prendendo una qualunque con¬ 
gruenza di sfere coi centri distribuiti sopra S, quali sistemi corrispondenti alle linee 
di curvatura di una delle falde dell’inviluppo. 
9. 
Congruenze di sfere di Ribaucour. 
Fra le due falde 2,2 di un inviluppo di sfere è stabilita una corrispondenza 
di punto a punto, ove si riguardano come corrispondenti sopra 2,2 i due punti P,P 
in cui sono toccate dalla stessa sfera dell’inviluppo. Particolarmente importanti sono 
quelle congruenze di sfere in cui sopra 2,2 si corrispondono le linee di curvatura. 
Esse furono considerate da Ribaucour in relazione colla teoria dei sistemi ciclici (*); 
e si diranno congruenze di sfere di Ribaucour. 
Ora si domanda: come si riconosce dalle forinole generali se la congruenza 
appartiene alla classe di Ribaucour? Bisogna per ciò che coincidano le due equa 
zioni differenziali per le linee di curvatura sulle due falde, cioè le due equazioni 
E 0 du -j- F 0 dv 
R u du -f- R l2 dv 
lùtdu -f~ F 0 dv 
R, i du — J- Ri 2 dv 
F 0 du -f- Gr 0 dv 
Ri 2 du -j— R 22 dv 
F 0 du -}- Gr 0 dv 
Ri 2 du -f- R 2 2 ^y 
— |/l — ^,R 
+ \h — j, r 
^ a du-\-¥ 9 dv , Fo^M-j-Grody 
D du -f- D 'dv , Gì du -f- D "dv 
E 0 ^M-J-Forfy F 0 du-\-G 0 dv 
Dà + D'à D’du + T)"dv 
= 0 
0 . 
Questo accade allora ed allora soltanto quando le tre forme differenziali 
. EooJm* -f- 2F 0 du dv -j- G 0 dv 2 , R n du 2 -f- 2R J2 du dv -f- R 22 dy 2 , 
Gdu 2 -f- 2 D’du dv -f- Gì' dv 2 
(*) Ved, Legioni, voi. II, cap. XVIII, particolarmente il § 281. 
