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sono linearmente dipendenti, cioè quando si annulla il determinante dei coefficienti. 
Dunque: la condizione necessaria e sufficiente perchè la congruenza di sfere sia 
di Ribaucour è che si abbia 
(34) 
Rj j 
E 0 
D 
Ri 2 R22 
Fo Gr 0 
I)' D" 
= 0 (‘). 
Questa condizione (34) può interpretarsi anche in altro modo; essa esprime infatti 
che alle linee di curvatura dell’una (0 dell’altra) falda corrisponde sulla superfìcie 
dei centri un sistema coniugato. Dunque: condizione necessaria e sufficiente affinchè 
la congruenza di sfere sia di Ribaucour è che alle linee di curvatura dell'una 
delle due falde {e per ciò anche dell’altra) corrisponda sulla superficie dei centri 
un sistema coniugato. 
Sotto questa forma, il risultato non è che un corollario del teorema generale 
di Dupin, secondo il quale le sviluppabili di una congruenza rettilinea si conservano 
per riflessione sopra una superficie S, solo quando intercettano sulla S un sistema 
coniugato. È facile vedere che le congruenze di sfere, considerate ai §§ 5, 6, nelle 
quali tutte le sfere toccano un piano fisso. 0 passano per un punto fìsso (toccano 
una sfera fissa), appartengono alla classe di Ribaucour. Geometricamente ciò risulta 
dal teorema di Dupin, analiticamente dalle formole (19). (25) (§§ 5, 6), le quali 
provano che nel determinante a sinistra della (34) la prima linea è una combina¬ 
zione lineare delle altre due. Tn altre parole: Le sfere tangenti una superficie qua¬ 
lunque 2 e ad una sfera (0 piano ) fissa tracciano una rappresentazione di 2 sulla 
sfera {piano) nella eguale alle linee di curvatura di 2 corrisponde un sistema 
ortogonale sulla sfera {piano). 
Osserviamo ancora che qualunque congruenza di sfere a raggio R costante è 
una congruenza di Ribaucour, poiché allora le due falde dell’inviluppo sono super¬ 
ficie parallele alla S, ed equidistanti da questa, mentre le loro linee di curvatura 
si corrispondono fra loro, ed a quelle di S. Del resto, se R è costante, la condizione 
(34) per una congruenza di Ribaucour è sempre soddisfatta. 
Un’altra osservazione ovvia è che: ogni inversione per raggi vettori reciproci 
cangia una congruenza di Ribaucour in un'altra tale congruenza. 
§ 10. 
Congruenze di Ribaucour deformabili. 
1 
Le congruenze di sfere di Ribaucour a raggio costante godono manifestamente 
della proprietà di rimanere congruenze di Ribaucour per qualunque deformazione 
della superficie dei centri. Ora domandiamo di trovare tutte le congruenze di Ribau- 
(*; Manifestamente esistono infinite congruenze di Ribaucour con assegnata superficie S dei 
centri. Basta infatti che R soddisfi all’equazione del secondo ordine (34). 
