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Dunque è funzione di u soltanto, quindi la superficie S è necessaria- 
'òu 
mente applicabile sopra una superficie di rotazione, e ne possiamo scrivere il ds 2 
sotto la forma 
ds 2 = du 1 -j- r 2 dv 2 r = cp{u). 
L’equazione di condizione superiore diventa 
R" 
yv 
e integrando 
R'(l — R' 2 ) r 
R' = 
ar 
y 1 -f- a 2 r 2 
dove a è una costante che possiamo fare =1 cangiando ar in r. 
Si ha così il semplice risultato (*): Per ottenere tutte te congruenze di sfere 
di Ribaucour , a raggio variabile , che rimangono di Ribaucour in qualunque 
flessione della superficie S dei centri, si prenda per S una deformata di una 
superficie di rotazione ds 2 = du 2 -f- r 2 dv 2 e si prenda il raggio R della sfera 
dato da 
R = 
rdu 
yT+7 2 ‘ 
Possiamo ora domandare ulteriormente se in questa classe di congruenze di 
Ribaucour deformabili se ne trovano di quelle che corrispondano al primo problema 
di deformazione § 5 o al secondo del § 6, per le quali cioè, in una speciale con¬ 
figurazione della superficie dei centri, tutte le sfere vengono a toccare un piano fisso, 
ovvero a passare per un punto fisso. Supponendo che la configurazione sia quella 
attuale, varranno nel primo caso le equazioni (19) § 5, nel secondo le (25) § 6, 
e in ambedue i casi le proporzioni fondamentali (25) si muteranno nelle seguenti 
(35*) D:D':D" = E 0 :F 0 :G e . 
Se siamo nel primo caso, si assuma il piano fisso per piano xy (onde R = z) 
e le equazioni parametriche della superficie si scrivano sotto la forma cartesiana 
x — u , y — v , z = z(u , v), 
onde le proporzioni (35*) diventano 
r:s:^=l:0:l, 
cioè r = t , s = 0 la cui soluzione generale è 
z = a(x 2 y % ) % b » -\- c y -\- d {a , b , c . d costante). 
0) Cfr. voi, II, § 262, dove lo stesso risultato è stabilito per altra via. 
