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Similmente un piano n ( satellite ), trascinato da S 0 nel rotolamento, assumendo 
una doppia infinità di posizioni, invilupperà una superficie (non sviluppabile), che 
diremo il relativo inviluppo di rotolamento (’). 
Le proprietà delle superficie e degli inviluppi di rotolamento stanno in intima 
relazione colle congruenze di sfere, come risulta dalle considerazioni seguenti. La 
superficie rotolante S 0 trascini dapprima seco un punto 0, il quale descriverà la 
superficie di rotolamento 2 . Così, ad ogni punto M della superficie S d'appoggio 
corrisponderà un determinato punto P della superficie 2 di rotolamento, precisamente 
quel punto in cui cade 0 quando la S 0 viene a toccare la S in (M 0 , M). Ora il 
segmento MP giace rispetto agli elementi lineari di S spiccati da M nello stesso 
modo, come M 0 0 rispetto ai corrispondenti di S,, uscenti da M # . Se dunque«si im¬ 
maginano tutti i segmenti M 0 O, che riuniscono i punti di S 0 al punto fisso 0, 
come invariabilmente legati alla S 0 nelle sue flessioni, e questa deformandosi acquista 
la configurazione S, il luogo dei termini P dei detti segmenti MP, prima riuniti 
in 0, sarà appunto la superficie 2 di rotolamento. Ma, nella primitiva configura¬ 
zione S fl , la congruenza dei segmenti M 0 O era normale alle sfere di centro 0, fra 
le quali figura il punto stesso come sfera di raggio nullo, onde pel teorema di Bel- 
trami (§ 3) i segmenti MP saranno normali nei loro termini P alla superficie 2 
di rotolamento. Tutto ciò si può esprimere in altre parole così: Si descrivano le 
sfere , coi centri distribuiti sulla superficie rotolante S 0 , che passano pel punto 
satellite 0, e si deformi la S 0 nella superficie S d’appoggio : quella falda 2 del 
nuovo inviluppo di sfere che corrisponde al punto 0 è la relativa superficie di 
rotolamento. 
Ma è opportuno osservare che anche la seconda falda 2 dell’ inviluppo di sfere 
si genera subito come superficie di rotolamento lasciando fissa la superficie d’ap¬ 
poggio S e cangiando la rotolante S 0 nella sua simmetrica Só, col punto simme¬ 
trico 0' quale punto satellite. Se invero per ogni posizione di S 0 tangente alla S 
in (M 0 , M) si prende la simmetrica Só rispetto al piano tangente comune, il sim¬ 
metrico O r di 0 si trova sopra 2 , e quando Só rotola su S (sulla faccia opposta) il 
punto satellite O f descrive la seconda falda 2 . Affatto analogamente, se si tratta di 
un inviluppo di rotolamento, si considerino le sfere coi centri distribuiti sulla super¬ 
ficie rotolante S 0 e tangente al piano satellite n. Deformando la congruenza di sfere 
col fare assumere alla S 0 la configurazione della superficie S d’appoggio, quella 
falda 2 del nuovo inviluppo di sfere che corrisponde al piano n sarà appunto l’in¬ 
viluppo di rotolamento. E l’altra falda 2 sarà generata alla sua volta dalla simme¬ 
trica Só rotolante sulla stessa S quale inviluppo del piano n simmetrico di n. In 
particolare l’osservazione alla fine del § 0 dimostra che se di una superficie S 0 si 
0 Se la S 0 trascina seco rigidamente una retta satellite, questa descrive una congruenza 
rettilinea di rotolamento. Mentre qualunque superficie, come presto vedremo, può considerarsi, ed 
in infiniti modi, quale superficie od inviluppo di rotolamento, invece le congruenze rettilinee di 
rotolamento sono congruenze affatto speciali. Al loro studio che, per ragioni di spazio, non può 
trovar posto nel presente lavoro, è dedicata la mia Memoria nel voi. XXV (1908) dei Rendiconti 
del Circolo matematico di Palermo. 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XII, Ser. 5\ 
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