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assume la podare rispetto ad un punto 0 e di questa si raddoppiano i raggi vettori, 
la superficie ottenuta 2 può riguardarsi come generata dalla simmetrica Só di S 9 ro¬ 
tolante su S 8 , quando per punto satellite 0' si prenda il simmetrico di 0. 
Risulta da queste considerazioni che, pel calcolo degli elementi delle superficie, 
o degli inviluppi di rotolamento, possiamo applicare le formole sviluppate per le 
generali congruenze di sfere, con questa particolarità che R è da eguagliarsi nel 
primo caso alla distanza del punto (u , v) di S 0 dal punto fìsso 0, e nel secondo 
invece alla distanza di (u , v) dal piano fisso n . 
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§ 12 . 
Direzioni cinematicamente coniugate. 
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La S 0 rotoli sulla superficie applicabile S, e sia M, nella posizione attuale, il 
punto di contatto. Se spostiamo questo punto M in un altro M' infinitamente vicino, 
la S 0 prenderà una nuova posizione Só, infinitamente vicina a S„. Andiamo a pro¬ 
vare che: il movimento rigido infinitesimo pel quale S 0 si trasporta in Só consta di 
una pura rotazione (infinitesima) attorno ad una conveniente tangente in M alla S, 
che rappresenterà dunque l’asse istantaneo di rotazione. Per questo consideriamo un 
punto qualunque 0 dello spazio, rigidamente connesso alla S 0 , il quale descriverà 
una superficie 2 di rotolamento. 
Spostandosi il punto di contatto M (o centro istantaneo di rotazione) da M in M', 
il punto 0, che prima occupava la posizione P, andrà in una nuova posizione P' 
(dell’intorno di P sopra 2) e l’elemento lineare PP' sarà certo normale alla con¬ 
giungente MP, che è la normale di 2 (§11) P). Cerchiamo allora fra le tangenti 
comuni in (M , M e ) alle (S , S 0 ) quella che è perpendicolare alla direzione PP' dello 
spostamento di P. Indichiamo col simbolo d i differenziali presi nella direzione MM', 
col simbolo d quelli nella direzione cercata Ì/Lt, ed essendo f , rj , £ le coordinate 
di P ,x,y,z quelle di M, la condizione d’ortogonalità degli elementi lineari PP', 
MM' si scriverà 
P) Questo segue anche direttamente dall’identità S(f — x) — RS« dì = 0 [§ 2, forinole (5)]. 
