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che facilmente interpretiamo. Il primo membro è una forma bilineare simmetrica 
nei differenziali ( du , dv) , (Su , Sv) col determinante 
(D — D 0 ) (D" — D") — (D' — D;) 2 , 
che supponiamo dapprima ={= 0, il caso in cui si annulli corrispondendo appunto al 
caso singolare di rigate rotolanti che esamineremo a parte (v. § seguente). Essendo 
dunque 
(D - D 0 ) (D" - D") — (D' — D ’ 0 Y =*= 0, 
la formola (V) distribuisce gli elementi lineari ds , Ss spiccati da M su S (da M 0 
su S 0 ) in coppie (ds , Ss) di una involuzione propria. Due direzioni corrispondenti 
ad una tale coppia (ds , Ss) della involuzione si diranno cinematicamente coniugate , 
per una ragione che tosto apparirà. Si osservi intanto che nella (V) non figura più 
traccia alcuna del punto satellite 0, e l’involuzione dipende solo dalle due super¬ 
ficie rotolanti S 0 ,S. Risulta d’altronde dal nostro calcolo che se il punto M si 
sposta in una direzione qualunque MM', il punto P subisce uno spostamento PP' 
normale alla tangente M/ cinematicamente coniugata alla MM'; ma siccome PP' è 
anche normale a MP, sarà PP' normale al piano (P , M£) che da P proietta la detta 
tangente M£. Valendo questo per qualunque punto 0 satellite, vediamo che, nel mo¬ 
vimento rigido infinitesimo che porta S 0 in Só, qualunque punto dello spazio si sposta 
normalmente al piano che lo congiunge ad M7, ed il movimento è quindi una ro¬ 
tazione (infinitesima) attorno ad Mt. Da tutto ciò si conclude: 
Nel rotolamento di una superfìcie S 0 sopra una superfìcie applicabile S il 
passaggio da una posizione di S„ ad una successiva è una pura rotazione. L'asse 
istantaneo di rotazione è quella tangente M.t nel punto di contatto fra (S 0 , S) che 
segna la direzione cinematicamente coniugata a quella MM r seguita dal centro 
istantaneo M di rotazione (punto di contatto). 
I risultati fondamentali così ottenuti rendono ben palese che [escluso il caso 
singolare di un' involuzione (V) degenere] : ogni punto satellite 0 di S 0 descrive 
un'effettiva superficie (non una curva). Poiché infatti, variando la direzione dello spo¬ 
stamento del punto di contatto, l’asse istantaneo prende tutte le posizioni possibili 
nel fascio, e corrispondentemente l’elemento lineare PP' descrive tutto il fascio di 
centro P nel piano normale ad MP, sicché il punto P' descrive l’intorno a due di¬ 
mensioni di P. 
§ 13 . 
Il caso singolare di rigate rotolanti. 
Veniamo ora a considerare il caso fin qui escluso, che si annulli il determinante 
della forma bilineare (V), ossia il discriminante della forma quadratica 
(D — D 0 ) du 1 -f 2 (D' — Di) du dv -f (D" — Di') dv z . 
