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Eguagliando a zero questa forma, avremo un’ unica 
radice 
(reale) in 
questa equazione differenziale, sia — = (p(u.v). Per semplicità prendiamo a linee 
v = cost. le linee integrali (reali) di questa equazione differenziale, ed avremo 
r> = d« 
D' = D 
r 
0 • 
Per l'equazione di Gauss si ha DI)" — D' 2 — D 0 Dó' — Dó 2 , indi nel caso nostro 
D(D"-D")=0; 
ma se fosse D'' — Dó' le due superficie S , S 0 avendo, oltre la prima, a comune anche 
la seconda forma differenziale, sarebbero congruenti, caso che naturalmente esclu¬ 
diamo (Q. Resta dunque l’ipotesi D = D 0 = 0, e questa diceche le v — cost sono 
linee asintotiche tanto sulla S 0 che sulla S. Pel noto teorema di Bonnet (voi. I, 
§ 114), queste asintotiche sono dunque rette su ambedue le superficie, onde 
concludiamo : 
Nel caso singolare le superficie (S 0 , Sì sono una coppia (R 0 , R) di rigale 
applicabili, con corrispondenza delle generatrici. 
In questo caso la rigata rotolante R 0 ha a comune colla rigata R d’appoggio, 
in ogni sua posizione, una intera generatrice g , anzi le due rigate si toccano (sono 
raccordate ) lungo tutta la generatrice (g 0 , g) comune. L’ultima cosa risulta p. es. 
dalla forinola di Chasles (voi. I. § 118), poiché in ogni rigata il parametro di di¬ 
stribuzione dei piani tangenti lungo una generatrice dipende solo dagli elementi in¬ 
variabili per flessione ( 2 ). È ora evidente che, nel caso attuale, il rotolamento di R„ 
sopra R è un movimento ad un solo parametro, indi un punto satellite descrive non 
più una superficie ma una curva, un piano satellite inviluppa una sviluppabile, ecc. 
Questi movimenti ad un parametro di rigate rotolanti sono importanti anche per 
ciò che se nel rotolamento generale a due parametri di una S 0 sopra una superficie 
applicabile S si sceglie una qualunque serie oo 1 di movimenti, questa non è appunto 
altro che un movimento elementare di rigate rotolanti. E infatti se S 0 rotola su S 
assumendo una semplice infinità di posizioni, il centro istantaneo di rotazione (M 6 , M) 
descriverà una certa curva C 0 sulla rotolante S 0 e la corrispondente G sulla super¬ 
ficie d'appoggio S, e per ogni posizione di M l’asse istantaneo di rotazione avrà ìa 
(*) In tal caso la S 0 , sovrapposta alia S, resterebbe del tutto immobile. 
(*) La stessa cosa segue anche p. es. dalla eguaglianza delle curvature in punti corrispon¬ 
denti. Lungo una linea asintotica di una superficie si ha infatti (voi. I, pag. 251) 
Tr dX s -MY2-MZ 5 
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e se l’asintotica è una retta che si assume per asse 0 3 , si può porre X = cos a , Y = sen <x, Z = 0, 
dove a è l’angolo che la normale alla superficie lungo la retta fa coll’asse O x , Ne risulta 
fjg = — V~ K , il doppio segno distinguendo il senso secondo cui-ruota il piano tangente al va¬ 
riare del punto di contatto. Nel caso particolare di due rigate applicabili (di egual senso) questa 
formola dà subito la proprietà utilizzata nel testo. 
