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dipende solo dai coefficienti dell’elemento lineare di S e non da D, D' , D". Dunque 
lo stesso calcolo per la rigata R 0 , indicando con ds 0 il suo elemento lineare, darà 
ds 2 — i 2 D' 2 do 2 = dsl — i 2 Di 2 dv 2 , 
quindi, essendo D' = Dó, viene ds 2 = ds 2 0 , c. d. d. 
Il caso escluso in cui le tangenti alle C (?z = 0) siano cinematicamente autoco- 
uiugate si tratterà similmente, osservando che allora D" — Dó' per u~ 0. 
In questo caso la rigata R è la sviluppabile delle tangenti alla C rappresen¬ 
tata parametricamente da 
ÉR= x -I- t —, ecc. (per u = 0), 
7>y 
ed ora è invece ds 2 — t 2 D" 2 dv 2 che risulta dipendere solo dai coefficienti della 
prima forma fondamentale di S. Per ciò avremo 
ds 2 — t 2 D" 2 do 2 = ds 2 0 — t 2 Dó' 2 do 2 (per u = 0), 
e siccome D" = Dó' per u — 0, nuovamente ds 2 = ds \. 
Il teorema, così provato anche per via analitica, dimostra come la conoscenza 
di una coppia (S 0 , S) di superficie applicabili procura quella di infinite coppie 
(R 0 , R) di rigate applicabili. 
§ 15. 
Altre proprietà delle direzioni cinematicamente coniugate. 
Per ogni coppia (S 0 , S) di superficie applicabili, che non sia di rigate con le 
generatrici corrispondenti per applicabilità, l’involuzione delle tangenti cinematica- 
mente coniugate è propria. Vi sarà quindi una coppia di raggi doppi distinti (reali 
od immaginari), ed ancora in generale una sola coppia di tangenti coniugate anche 
nel senso di Dupin, come pure una (e generalmente una sola) coppia ortogonale, 
sempre reale. 
a) Il sistema di linee coniugate insieme nel senso cinematico e nel senso 
di Dupin è quello delle linee integrali della equazione differenziale 
(D — D 0 ) du -|- (D'— Dé) dv , (D'— Dg du -f- (D"— Di') dv _ 
D(,du-\-Y)' 0 dv , Dó du -j- Dó' dv • 
ossia 
T>du-\-D'dv X)'du -f- D'' dv 
= 0 . 
D <,du-\-D' 0 dv Dó du -f- Dó' dv 
Questo è dunque il sistema coniugato comune (nel senso di Dupin) alle due super- 
