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L’equazione differenziale delle linee di curvatura per una falda 2 di un qua¬ 
lunque inviluppo di sfere è la (IV) § 8, ossia 
(39) 
F 0 du-\-F 0 dv F 0 du~\~G 0 dv 
R u ^w-j-Ri 2 rfy R 12 oJm-J- U 22 dv 
— j/l — ijR 
F a du-\-F a du F^du-\- Qr^dv 
Fdu-\- Y)'dv D 'du -j- D"dv 
= 0. 
Ma nel caso nostro, distinguendo secondo che si tratta di un punto satellite 0, 
ovvero di un piano satellite n, abbiamo: 
1° caso. — R è la distanza del punto [u,v) mobile sulla superficie roto¬ 
lante S 0 dal punto fisso 0, e quindi per le formolo (25) § 6 si ha 
E 0 
Po 
Rii = jjr + t/i — ^R . Do , R 12 = ^ + t/l-^iR>D;, 
Grò 
Rs^^+i/ì-^r.o;'. 
2° caso. — R è la distanza (algebrica) del punto (u , v) di S 0 dal piano n, 
onde per le (19) § 5 
R u = f/i_ z/,R.D 0 , r 12 = |/i — z/, r. d; , R 22 = |/l — //,R.D, 
tr 
o 1 
In tutti e due i casi la (89) si riduce alla seguente 
E 0 dw -}- Po àv * i F 0 du Q a dv 
( 0) (D — D 0 ) du + (D' — Di) dv , (D' — DJ) du + (D" — Di') dv 
quindi ; l’equazione differenziale delle linee di curvatura delle superficie o dell’in¬ 
viluppo di rotolamento si ottiene eguagliando a zero , per la relativa congruenza 
di sfere, il Jacobiano delle due forme quadratiche fondamentali 
\ E 0 du * -j- 2F 0 du dv -f- G» dv 2 
ì (D — D 0 ) du* + 2(D f — Di) du dv -f (D" — Di') dv* . 
Questo risultato analitico si può interpretare geometricamente come segue, distin¬ 
guendo i due casi. 
1° caso. — Col centro nel punto satellite si descriva una sfera, p. es. di 
raggio = 1, e su questa si faccia la projezione centrale della superficie rotolante S 0 . 
Dette X 0 , Y 0 , Z 0 le coordinate del punto (u , v) sulla sfera e x 0 ,y 0 , z 0 quelle 
del punto corrispondente su S 0 abbiamo 
#0 = RX 0 , */o = RYo i ^o == R^o 
e però 
jis* = S dx\ — R* do* -j- dR 2 , 
dove o 2 indica il quadrato dell’elemento lineare sferico. Dunque, in questo primo 
caso, la prima forma differenziale F 0 du 2 -j- 2F 0 c^ dv -f- G 0 dv z della congruenza di 
sfere ha il semplice significato 
(41) F^du 2 2F 0 du dvOì Q dv z = Fida*, 
