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cioè è proporzionale al quadrato dell'elemento lineare della projezione centrale sulla 
sfera della S 0 . 
L’equazione differenziale (40) delle linee di curvatura si interpreta dunque nel 
teorema : 
Le linee di curvatura della superficie di rotolamento descritta dal punto 
satellite 0 corrispondono a quel sistema cinematicamente coniugato della super¬ 
ficie rotolante S 0 che si proietta in un sistema ortogonale sulla sfera di centro 0 
{in proiezione centrale ). 
Si noti che questo sistema è sempre unico e determinato, salvo quando le due 
forme quadratiche fondamentali sono proporzionali, ed allora la superfìcie di rotola¬ 
mento, avendo linee di curvatura indeterminate, è un piano o una sfera (cfr. più 
avanti § 24). 
2° caso. — Nel secondo caso si proietti ortogonalmente la superfìcie roto¬ 
lante S 0 sul piano satellite zr, e la prima forma fondamentale 
E 0 du 2 -)- 2F 0 du dv Go dv z 
darà ora il da' 1 della proiezione piana; si ha dunque il teorema: 
Le linee di curvatura dell' inviluppo di rotolamento generato dal piano sa¬ 
tellite n corrispondono a quel sistema cinematicamente coniugato della superficie 
rotolante S 0 che si proietta in un sistema ortogonale sul piano n {in proiezione 
ortogonale). 
Questo secondo teorema si può del resto dedurre come caso limite dal prece¬ 
dente, quando, aumentando il raggio delle sfere di una costante, si consideri come 
relativo all’ inviluppo di una sfera satellite. Se la sfera, allontanando all’ infinito il 
centro 0, diventa un piano, il primo teorema si cangia nel secondo. 
- Il teorema dimostrato si può applicare in particolare al caso della superficie 
podare riguardata come superficie di rotolamento (§ 11), nel qual caso l’involuzione 
delle tangenti cinematicamente coniugate coincide con quella nel senso di Dupin, e 
si ottiene il teorema: 
Le linee di curvatura della superficie podare di una superficie S 0 rispetto 
ad un punto 0 corrispondono a quel sistema coniugato di S 0 che si proietta da 0, 
sopra una sfera con questo centro, in un sistema ortogonale. 
§ 18 . 
I due problemi fondamentali pel rotolamento. 
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Abbiamo già accennato, nella prefazione, che qualunque superficie 2 può con- 
« siderarsi, ed in infiniti modi, come superficie o come inviluppo di rotolamento, ed 
ora appunto vogliamo occuparci del problema fondamentale: 
Data una qualunque superficie 2, trovare tutte le coppie (S 0 , S) di super¬ 
ficie applicabili tali che , rotolando S 0 sopra S, un conveniente punto 0 satellite 
di S 0 descriva 2 , ovvero un piano n satellite di S 0 inviluppi 2. 
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