— 449 — 
Fondandosi sui risultati dei §§ 5 e 6, noi possiamo già dimostrare che il pro¬ 
blema ammette sempre infinite soluzioni, la cui ricerca dipende da un’equazione a 
derivate parziali del secondo ordine, ad ogni soluzione della quale appartiene una 
coppia (S 0 . S) di superficie applicabili che risolvono il problema. 
Per questo, essendo data la superficie 2 di rotolamento (F inviluppo), dobbiamo 
cercare la corrispondente superficie d’appoggio S. Ad ogni punto Y = (u,v) di 2 
corrisponde un punto M sopra S, situato sulla normale in P alla 2 , ed il segmento 
PM = R(^,y) rappresenta il raggio della sfera generica dell’inviluppo. Secondo i 
ri ultati dei §§ 5 e 6, otterremo tutte e sole le soluzioni del problema assogget¬ 
tando R alle condizioni seguenti: deve esistere una deformata per flessione S 0 della S 
tale che R = R(w, v) rappresenti la distanza del punto (u , v) di S 0 da un punto 0 
fèsso nello spazio, ovvero la distanza da un piano fèsso n. Allora, quando si faccia 
rotolare S 0 sopra S, il punto satellite 0 descriverà nel primo caso la superficie data 2, 
ovvero nel secondo il piano satellite n invilupperà 2 . D’altra parte le condizioni im¬ 
poste alla funzione incognita R(^,z;) si riducono a questa che nel primo caso R 
soddisfi alla seconda equazione (II) dell'applicabilità (§ 6), ovvero nel secondo caso 
alla prima equazione (I) dell’applicabilità (§ 5), bene inteso calcolando queste equa¬ 
zioni rispetto all’elemento lineare di S. 
Traducendo nel calcolo effettivo le condizioni enunciate, troveremo subito che 
esse equivalgono ad una rispettiva equazione del secondo ordine, che dipende soltanto 
dalla superficie data 2. 
Dopo queste indicazioni generali, procediamo alla ricerca, separando i due casi 
che diremo dei problemi A), B). 
Problema A): Trovare tutte le generazioni della superficie data 2 come 
superficie di rotolamento. 
Problema B)‘ Trovare tutte le generazioni della superficie data [non svi¬ 
luppabile) 2 come inviluppo di rotolamento. 
§ 19 . 
Equazione a derivate parziali del secondo ordine pel problema A). 
Riferiamo dapprima la superficie data 2 ad un sistema coordinato curvilineo 
qualunque (u , v) e siano 
( ErfM 2 -}~2F dudv-\-Gdv 2 
( D du % —{— 2D ' du dv -\- D" dv 2 
le due forme quadratiche fondamentali di 2 , alle quali associeremo anche la terza 
(voi. I, cap. V) 
e du 2 -|- 2f du dv -f- g dv 2 
