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legata alle prime due dalla nota forinola 
(42) e du 2 -f- 2f du dv + g dv 2 = 
= — K (E du 2 2P du dv -J- G dv 2 ) — H ( D du 2 -{- 2D' du dv -j- D" dv 2 ), 
dove H , K significano al solito la curvatura media e la curvatura di Gauss della 2. 
Sopra la normale nel punto P = (x , y , z) di 2 riportiamo un segmento PM = R, 
e per le coordinate x , y , s dell’estremo M avremo 
x = x -}- RX , y — y -j- RY , s = z + RZ , 
da cui differenziando 
dx = dx -f- R dX -f- X dR , ecc. 
Di qui, formando il ds 2 = S dx 2 della superficie S luogo dell’estremo M, abbiamo 
subito 
ds 2 = E du 2 -f- 2F du dv + G dv 2 -f- 
-f- R 2 (e du 2 -f- 2/ du dv + g dv 2 ) — 2R (D du 2 -4- 2D' du dv -f- D" dv 2 ) -j- dR 2 , 
indi per la (42): 
(48) ds 2 = dW -f (1 — R 2 K) (E du 2 + 2F du dv + G dv 2 ) — 
— (2R -f R 2 H) (D du 2 + 2D' du dv + D" dv 2 ). 
Ora, affinchè la funzione incognita R corrisponda ad una soluzione del pro¬ 
blema A), occorre e basta, pel § 18, che esista una deformata S 0 della S per la 
quale R rappresenti la distanza del punto (u , v) da un punto fisso, e secondo la (41) 
§ 17, questa condizione equivale all’altra che il ds 2 si ponga sotto la forma 
ds 2 = dU 2 + R 2 da 2 , 
dove da 2 rappresenta il quadrato dell’elemento lineare della sfera unitaria. In altre 
parole occorre e basta che la forma differenziale quadratica (definita positiva come 
ora subito si vedrà): 
— k) (E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 ) — 
— + h) (D du 2 + 2D' du dv -f D" dv 2 ) 
abbia curvatura = -j- 1. Ma ora è manifesto che scrivendo questa condizione risulta 
per la funzione incognita R una equazione del secondo ordine caratteristica pel pro¬ 
blema A). Concludiamo quindi: 
Per risolvere il problema A) si riporti sopra ogni normale di 2 un tale 
segmento R che la forma differenziale (definita positiva) 
( 44 ) ^-L _ (E du 2 + 2 F dudv + G dv 2 ) - (j| + h) ( D du 2 + 2D' du dv + D W) 
