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Sostituendo nella (46), con riguardo all’equazione di Gauss 
A / JL , A / L \ = _ i/ÈG 
Dm \j/e ìu J q iv J r x r z ' 
si ottiene l’equazione a derivate parziali richiesta sotto la forma definitiva: 
Deduciamo subito di qui una semplice proprietà domandando quando è che 
la (VI) possiede una soluzione T costante. È necessario e sufficiente per ciò che 
sia — =— 4r = cost, cioè che sia costante Incurvatura media di 2. In tal 
Ti r z T 
caso, essendo R costante, la superficie rotolante S 0 è una sfera, ed il centro è il 
punto satellite, onde si vede che: se la sfera rotola su qualunque superficie ap¬ 
plicabile, il centro descrive una superficie a curvatura media costante (non nulla) ; 
e viceversa ogni superficie a curvatura media costante può generarsi in questo 
modo. 
Sotto altra forma, è questo il noto teorema di Bonnet che riduce la ricerca 
delle superficie a curvatura media costante a quella delle superficie applicabili sulla 
sfera, e viceversa (*). 
§ 20 . 
Soluzioni della (VI) corrispondenti alle superficie antipodari di 2 . 
I risultati ottenuti fanno dipendere la soluzione del problema A) da un’equa¬ 
zione del secondo ordine, la (VI), analogamente come il problema di trovare tutte 
le deformate per flessione di una superficie data dipende da un’equazione del 2 ° or¬ 
dine, l’equazione dell’applicabilità sotto la forma (I), o (li) §§ 5 e 6 . I due pro¬ 
blemi confrontati sono dello stesso ordine di difficoltà, ed un altro ravvicinamento 
fra di essi consiste in questo che in ambedue i casi siamo in grado di assegnare 
a priori della corrispondente equazione del 2° ordine una soluzione con tre costanti 
arbitrarie. Nel caso del problema della deformazione queste sono le soluzioni che si 
hanno eguagliando la funzione incognita alla distanza dei punti della superficie da 
un piano fisso, ovvero da un punto fisso. E nel caso del rotolamento sono quelle so¬ 
luzioni evidenti che si hanno (§ 11 ) considerando la superficie data 2 come podare 
di una conveniente superficie S 0 (antipodàre) rispetto ad un punto qualunque 0 dello 
spazio. L’osservazione, geometricamente ovvia, merita di essere sviluppata per tro- 
(*) Voi. II, § 393. 
