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vare la forma effettiva di queste oo 3 soluzioni della (VI) che si hanno in termini 
finiti per qualunque superficie 2. 
Da un punto fisso 0 dello spazio, che possiamo prendere per origine, proget¬ 
tiamo i punti P di 2, e nell’estremo P del raggio vettore OP conduciamo il piano n 
normale ad OP; questo invilupperà una superficie S 0 (antipodare di 2). Se diciamo M 
il punto di contatto di re coll’antipodare S 0 e W 3 la distanza di 0 dal piano tan¬ 
gente in P alla superficie 2, si trova con calcolo elementare 
OM 2 = 
OP 4 
W§ ' 
Posto, con notazione consueta 
= OP 2 = S^r*, 
il valore di OM è dunque ztz 
, e ridotto alla metà darà (cfr. §§ 6, 11) il va¬ 
lore cercato di R, che, precisato anche nel segno, sarà 
Confermiamo questo risultato col calcolo dimostrando il teorema: 
Per una qualunque superficie 2. indicando con q il semiquadrato della 
distanza di un punto fisso 0 arbitrario dello spazio da un punto variabile (u , v) 
sulla superfìcie , e con W 3 la distanza ( algebrica ) di 0 dal relativo piano tan¬ 
gente ,, la funzione 
W 3 
(47) T = — — 
Q 
dà sempre una soluzione della equazione fondamentale (VI) pel problema A) (*)• 
Per la verifica si riferisca ancora la superficie 2 alle sue linee di curvatura 
[u , y), colle consuete notazioni, ed oltre le quantità q = \ Sa: 2 , W 3 = SccX 3 , si 
introducano anche le distanze W, , W 2 dai due piani principali di 2: 
Wjs-SaX, , W 2 = Sa;X 2 . 
(') In altre parole, per una superficie qualunque 2, colle due forme quadratiche fondamentali 
E du* -f- 2F du dv + G da 2 , D du* -J- 2Y>'du dv -f- D"di>*, avendo H , K , p , W 3 i significati stabiliti, 
la forma differenziale 
(^f- - K ) (E du* + 2F dudv + G dv*) + ( 2 y- - H ) (D du* + 2D 'dii do + D "dv*) 
ha sempre la curvatura costante —-f- 1. 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XII, Ser. 5 a . 
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