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pabile polare di r. In particolare prendendo per R la sviluppabile polare stessa, 
risulta la nota costruzione del Cesàro per le curve con assegnato luogo dei centri 
delle sfere osculatrici. 
§ 24 . 
Superficie di rotolamento piana o sferica. 
Nei due problemi di rotolamento, trattati nei due ultimi paragrafi, abbiamo 
potuto integrare completamente la relativa equazione fondamentale e risolvere quindi 
in tutta la generalità la questione proposta, che portava però ad un rotolamento con 
un solo parametro. 
Ora passiamo a trattare un caso di rotolamento a due 'parametri nel quale il 
problema A) può ancora risolversi completamente. È questo il caso quando la super¬ 
ficie di rotolamento prescritta è un piano, ovvero una sfera. Il caso analogo pel pro¬ 
blema B) avviene quando l’inviluppo prescritto di rotolamento è una sfera, ma non 
differisce dal primo caso indicato se non per lo scambio delle due superficie appli¬ 
cabili generatrici (S 0 , S) ( 1 ). 
a) Se la superficie prescritta di rotolamento 2 è un piano, possiamo pren¬ 
derne l’elemento lineare p. es. sotto la forma normale 
ds * * = du* -f- dv *, 
e la corrispondente superficie S d’appoggio si troverà, secondo il § 19, elevando in 
ogni punto del piano un segmento normale R = R(^,v), tale che la forma diffe¬ 
renziale 
„ du* -f- dv 3 
rappresenti il ds'* della sfera unitaria, dopo di che il luogo dei termini dei segmenti 
darà la cercata superficie S d’appoggio. Ma queste forme del ds' 2 sferico sono tutte 
e sole le ben note forme isoterme, ed il problema quindi è completamente risolto. 
del punto di contatto. Si hanno così problemi di curve roulettes nello spazio, che si possono trat¬ 
tare direttamente con facilità. Così per es. se si domanda che rotolando una curva C 0 su qualunque 
sua deformata (per sola torsione) un punto satellite 0 descriva sempre una curva a flessione co¬ 
stante, si trova che C 0 deve essere un circolo ed il punto satellite deve essere nel centro, ciò che 
conduce ad un risultato ben noto 
(*) Se rotolando S 6 sopra S il punto satellite 0 descrive un piano n, inversamente quando S 
rotoli su S 0 accompagnata dal piano satellite n, questo passa costantemente per un punto ed ogni 
piano satellite parallelo inviluppa una sfera. 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XII, Ser. 5 a . 
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