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b) Sia in secondo luogo la superfìcie 2 di rotolamento una sfera di raggio = a. 
di cui potremo scrivere il ds 2 p. es. sotto la forma 
ds 2 = a 2 cosh 2 u ( du 2 -j- dv 2 ), con 
/ = _ 1 _ _ 1 
r, r 2 a 
Il problema consiste nel determinare R = R(^fV) in guisa che l’elemento lineare 
ds' 
cosh 2 u(du 2 -f- dv 2 ) 
appartenga nuovamente alla sfera unitaria; e coincide dunque con quello ora con¬ 
siderato. 
Diamo nel prossimo paragrafo le eleganti formole del Calò che assegnano, in 
termini Uniti, le coppie (S 0 , S) di superficie applicabili corrispondenti ad una super¬ 
ficie 2 di rotolamento piana o sferica ; ma prima ancora osserviamo alcune proprietà 
di queste superficie (S 0 , S) che sono semplici conseguenze dei teoremi generali. 
Sia dapprima la 2 un piano che possiamo prendere per piano xy, e sia ^=PM 
l’ordinata fra il piano n di rotolamento e la superficie S d’appoggio. Quando la S 
si deforma nella rotolante S 0 , trascinando seco invariabilmente i segmenti MP, i 
termini P di questi vengono a riunirsi nel punto satellite. Per ciò la nostra z deve 
soddisfare alla seconda equazione (II) delL’applicabilità (§ 6 ); e viceversa ad ogni 
soluzione z di questa corrisponde una superficie S d'appoggio pel nostro problema. 
Prendiamo allora per variabili indipendenti le cartesiane x , y , ed avremo con le 
notazioni di Monge 
*" 14-/4~/ ’ * 12 14-/4-/ ’ 
EG — F 2 = l 4-/4-/ , 1—JtZ 
rt — s 2 
t 
14-/4-/ 
1 
l-h/4-/ 
K = 
(14-/4-/) 
1 
e sostituendo nella detta equazione (II), si trova semplicemente 
, , l-h/4 - / 
r-\-t— ————— . 
z 
onde: Le superficie S d’appoggio per una superficie piana 2 di rotolamento sono 
tutte e sole le superficie integrali delle equazioni del secondo ordine 
r-\-t = 
1 4~ / 4~ / 
z 
