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Alla loro volta anche tutte le superfìcie rotolanti S 0 sono gli integrali di un'equa¬ 
zione del secondo ordine; questa si ha semplicemente scrivendo che la distanza del 
punto (u , v) di S 0 dal punto fisso satellite soddisfa alla prima equazione (A) § 5 
dell’applicabilità. 
Una proprietà del tutto analoga offrono le coppie (S 0 , S) di superfìcie appli¬ 
cabili nel caso di una superficie di rotolamento sferica. Consideriamo infatti la cor¬ 
rispondenza d’applicabilità fra (S 0 , S), e sia R la distanza di un punto ( u , v) di S 0 
dal punto satellite 0, R' quella del punto corrispondente di S dal centro O r della 
sfera di rotolamento di raggio =a; abbiamo manifestamente 
R'+R = a. 
E allora se scriviamo che l’equazione (II) dell’applicabilità, oltre la soluzione R, 
ammette l’altra a±R, si avrà l’indicata equazione del secondo ordine che carat¬ 
terizza le superfìcie in discorso. 
§ 25. 
Le forinole di Calò per le coppie (S 0 , S) di superficie applicabili. 
a) La superfìcie 2 di rotolamento sia dapprima un piano, e si indichino con 
x 0 > I/o ' ? x i V > s le coordinate di due punti corrispondenti per l’applicabilità di 
S 0 , S, le quali superficie immaginiamo di più così collocate nello spazio che il 
punto satellite 0 sia nell’origine ed il piano 2 di rotolamento coincida col piano xy; 
avremo 
(53) dx\ -j- dyl -}- dz\ = dx 2 -j- dy 2 -f- dz 2 , 
e inoltre 
(53*) ut+ 
viceversa, ogni qualvolta queste due condizioni siano insieme soddisfatte, si ha una 
coppia (S 0 , S) richiesta. Riferendo la S 0 a coordinate polari R,0,<p, col porre 
(54) x 0 = R sen 6 cos (p , y 0 = R sen 6 sen <p , s 0 = R cos 6 , 
la (53) si scrive 
dR 2 -f- R 2 (<i0 ? sen 2 0 dy> 2 ) = dx 2 -{- dy 2 -t- dz *, 
ossia, poiché R = s per la (53*), 
(55) R 2 (d6 2 -J- sen 2 0 d<p 2 ) — dx 2 -j- dy 2 . 
L’interpretazione geometrica di questa formola è la seguente: La projezione cen¬ 
trale della superficie S 0 sopra la sfera unitaria di centro 0 e quella ortogonale 
di S sul piano fisso danno una rappresentazione conforme della sfera sul piano. 
