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terminate, l’equazione differenziale (40) del § 17 deve risolversi in una identità, 
ossia debbono sussistere le proporzioni 
D — D, : D' — D' : D" — D" = E 0 : F 0 : G 0 ; 
e viceversa se queste sussistono la superficie di rotolamento, avendo le linee di cur¬ 
vatura indeterminate, sarà un piano o una sfera. Dunque le coppie di superficie 
applicabili S 0 , S date dalle formolo di Calò sono caratterizzate da questa proprietà : 
Ogni sistema cinematicamente coniugato di S 0 , S, in 'particolare il sistema 
coniugato comune a (S 0 , S), si cangia, in proiezione centrale, in un sistema orto¬ 
gonale (e viceversa). 
§ 26. 
Interpretazione non-euclidea delle formole del Calò. 
Si è visto che il problema di trovare tutte le generazioni del piano o della 
sfera come superficie di rotolamento resta risoluto, in termini finiti, dalle formole 
(56), (58) del Calò. Non meno notevole è un secondo significato che si può dare 
a queste formole quando il piano o la sfera di rotolamento si assumano come piano 
limite (rispettivamente come sfera limite) di una metrica non-euclidea (Poincaré); 
esse vengono a dare, in termini finiti, quelle superficie dello spazio iperbolico di cur¬ 
vatura costante negativa K —-, che hanno costante la curvatura media — 4- — , 
a 2 Qi 1 
precisamente 
- + - = =±=-• 
Qi Qì a 
Per dimostrare queste proprietà riferiamoci p. es. al piano come superficie di 
rotolamento ed alle formole (56), e nell' inviluppo di sfere che hanno i centri distri¬ 
buiti sulla superficie S e toccano il piano n (piano xy), consideriamo la seconda 
falda dell’inviluppo, che diciamo 2. Questa superficie 2 riferiamo alle sue linee 
di curvatura (u , v) colle solite formole, e diciamo R il raggio della sfera generica 
dell’inviluppo, sicché dette x,y,z le coordinate di un punto di M, saranno 
t 
x -j- RX 3 , y -J- RT 3 , z -|- RZ 3 , 
quelle del centro della sfera ; e siccome questa tocca il piano xy , dovremo avere 
z -j- RZ 3 = ±fi, 
da cui 
