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resta, come equazione a derivate parziali caratteristica delle nostre superficie 2 , la 
seguente : 
(61) L + L = ì l±h, 
r x r t z 
Se ora riguardiamo la nostra superficie 2 come immagine di una superficie dello 
spazio iperbolico di curvatura K =-definito dalla forma di Poincaré del ds 2 
a 2 
dx 2 -f- dy 2 -f- ds 2 
ds 2 — a 2 - - —— - 
e con — , —- indichiamo le curvature principali (ridotte) di 2 nella metrica non- 
01 02 
euclidea abbiamo per una nota forinola (voi. I, pag. 515) 
e la (61) diventa quindi semplicemente 
( 61 *) 
- + - = 
01 02 
2 
9 
a 
cioè: la superficie 2 , riguardata come appartenente allo spazio pseudosferico di 
1 112 
curvatura — - ha la curvatura media —■ — costante — - . 
a 2 0i 02 « 
Le considerazioni superiori dimostrano che sono in sostanza due problemi iden¬ 
tici quello della generazione del piano come superficie di rotolamento (in metrica 
2 
euclidea) e l’altro della determinazione delle superficie a curvatura media costante - 
a 
in metrica iperbolica di curvatura —— . In effetto risulta la proposizione seguente : 
Se, rotolando la superfìcie S 0 sopra una sua applicabile S, un punto 0 sa¬ 
tellite di S 0 descrive un piano u, si considerino le sfere coi centri distribuiti 
sopra S che toccano n. La seconda falda 2 dell’inviluppo, riguardata in metrica 
iperbolica di curvatura — — di cui n sia il piano limite (nella rappresentazione 
2 
di Poincaré ), è una superficie a curvatura media costante -, e viceversa ogni 
superficie con questa curvatura media costante nella metrica iperbolica dà luogo 
ad una generazione del piano come superficie di rotolamento. 
Un risultato affatto analogo sussiste nel caso che al piano n come superficie di 
rotolamento si sostituisca una sfera; basta alla rappresentazione di Poincaré nel se- 
