PARTE SECONDA 
Applicazioni ai teoremi di (xuicliard e loro inversi. 
Trasformazioni di Ribaucour. 
Trasformazioni J) m di Darboux delle superficie isoterme 
e trasformazioni duali E w . 
§127. 
Congruenze elementari (’) di Ribaucour deformabili. 
In questa seconda parte della Memoria noi ci occuperemo dapprima di una classe 
di problemi sulla deformazione delle congruenze di sfere, nei quali si domanda che, 
in qualunque deformazione della congruenza l'inviluppo (una falda dell’ inviluppo), 
goda costantemente di una determinata proprietà geometrica. 
Un primo problema di questa specie abbiamo trattato e risoluto al § 10 col 
determinare tutte le congruenze di sfere di Ribaucour, che rimangono di Ribaucour 
in qualunque deformazione delia superficie dei centri. Fra queste ci interessa ora 
particolarmente il caso delle congruenze elementari , per le quali abbiamo già enun¬ 
ciato alla line del paragrafo il teorema relativo, la cui dimostrazione vogliamo qui 
iu primo luogo completare geometricamente. 
Cerchiamo adunque come dobbiamo prendere una superficie S 0 ed un punto 
fisso 0 affinchè, rotolando S 0 su qualunque sua deformata S, la superfìcie 2 (di ro¬ 
tolamento) descritta dai punto satellite 0 goda sempre della proprietà che le sue 
linee di curvatura corrispondano ad un sistema coniugato della superficie S d'ap¬ 
poggio. 
In generale le linee di curvatura di 2 corrispondono (§ 17) a quel sistema ci¬ 
nematicamente coniugato di S 0 che si proietta da 0, sopra una sfera col centro 0, 
in un sistema ortogonale; qui adunque debbono corrispondere al sistema coniugato co¬ 
mune di S 0 , S, o sistema permanente. Siccome questo deve succedere qualunque sia 
la deformata S di S 0 , se ne conclude essere necessario e sufficiente che : ogni sistema 
(*) Per brevità indichiamo col nome di congruenze elementari (di Ribaucour) le congruenze 
di sfere tangenti ad un piano fisso, ovvero ad una sfera fissa (in particolare di sfere passanti per 
un punto fisso). Queste congruenze appartengono sempre alla classe di Ribaucour (§ 9) e la loro 
deformazione dà luogo ai problemi di rotolamento (§ 11). 
