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coniugato permanente di S 0 , e per ciò anche qualsiasi sistema coniugato di S 0 , 
venga proiettato dal centro 0 sopra una sfera col centro in 0 in un sistema orto¬ 
gonale. È facile vedere ora che la S 0 deve essere una quadrica rotonda di cui 0 
sia un fuoco principale. Questo segue p. es. dal teorema alla fine del § 17 rela¬ 
tivo alle linee di curvatura della superficie podare, il quale ci dimostra che, nel 
caso attuale, ogni sistema coniugato di S 0 essendo proiettato in un sistema ortogo¬ 
nale, la superficie podare di S 0 rispetto ad 0 avrà le linee di curvatura indetermi¬ 
nate e sarà per ciò un piano o una sfera, quindi S 0 sarà una quadrica rotonda con 0 
fuoco principale. 
Possiamo anche dedurre la proprietà in discorso dai seguente teorema: Le uniche 
proiezioni centrali di una superficie S (non sviluppabile) sopra un'altra super¬ 
ficie S', che cangino i sistemi coniugati di S nei sistemi coniugati di S', sono le 
omologie col centro nel centro di projezione. 
È bene evidente che ogni omologia dà una tale projezione centrale. Per dimo¬ 
strare la proposizione inversa, osserviamo che, prendendo il punto fisso per origine, 
e indicando con (x , y , z) ; (x , y ’, z’) le coordinate di due punti corrispondenti di S, S' 
(allineati coll’origine), avremo 
/i\ f co r y # £ 
(!) X = y , y = ~ , / = y, 
. ' 1 
essendo T un fattore di proporzionalità. Ora, se la S si riferisce ad un qualunque 
sistema coniugato (u , v) , le x ,y , z sono soluzioni della corrispondente equazione di 
Laplace (voi. I, § 66) 
( 2 ) 
yo 7)0 . 7)0 
- —a — -f- p — 
~ÒU ~ÒV ~òu 1)V 
e siccome per ipotesi il sistema (u , v) è anche coniugato sopra S', le x\y\z' cal¬ 
colate dalla (1) dovranno soddisfare alla loro volta ad una seconda equazione di 
Laplace 
( 2 ') 
V 0' 
hu 7>y 
In altre parole la (2), col cambiamento di funzione incognita 
0 = T 0' , 
si deve cangiare nella (2') della stessa forma. Per ciò è necessario (e sufficiente) 
che la funzione T sia una soluzione della (2) stessa. Dunque la T delle forinole (1) 
deve soddisfare a tutte le equazioni (2) di Laplace relative agli infiniti sistemi co¬ 
niugati ( u,v ) di S. Queste hanno effettivamente oo 4 soluzioni comuni, e cioè tutte 
le funzioni lineari intere di x ,y ,z 
ax -f- by + cz -{- d 
(a ,b ,c ,d costanti). 
