— 472.— 
Ma basta già prendere due di tali equazioni di Laplace (due diversi sistemi coniu¬ 
gati) e le soluzioni comuni sono unicamente quelle ora scritte. Dunque nelle (1) la 
funzione T ha necessariamente la forma 
T — ax -h h + cz + d , 
sicché le (1) rappresentano in effetto un'omologia col centro nell’origine, c. d. d. 
Se si applica in particolare il teorema dimostrato al caso in cui una delle due 
superficie sia una sfera (indi i suoi sistemi coniugati coincidano cogli ortogonali), 
l’altra superficie sarà trasformata della sfera per un’omologia col centro nel centro 
0 della sfera, vale a dire sarà una quadrica rotonda, avente in 0 un fuoco prin¬ 
cipale. 
§ 28. 
Prime considerazioni sui teoremi di Guickard. 
Le ricerche esposte nel paragrafo precedente, in continuazione a quelle del § IO, 
ci hanno portato a considerare le superficie 2 di rotolamento generate da un fuoco 
principale di una quadrica rotonda S 0 che rotoli su qualunque sua deformata S. 
Abbiamo cosi riconosciuto quale proprietà caratteristica per questo caso che le linee 
di curvatura della superfìcie 2 di rotolamento corrispondono sempre al sistema 
coniugato comune alla quadrica rotonda S 0 cd alla sua deformata. 
Questa proprietà figura soltanto come secondaria nelle celebri proporzioni tro¬ 
vate da Guichard nel 1899, secondo le quali: Le superfìcie 2 generate da un fuoco 
principale di una quadrica rotonda che rotola su qualunque sua deformata è una 
superfìcie a curvatura media costante non nulla se la quadrica è a centro , a cur¬ 
vatura media nulla (superfìcie minima) se la quadrica è un paraboloide. 
I teoremi di Guichard hanno inaugurato, si può dire, la nuova teoria delle 
trasformazioni delle superficie'applicabili sulle "quadriche generali, e sebbene siano 
stati già dimostrati e completati in varie guise (*), non sarà inutile, in ragione 
appunto della loro grande importanza, che ne riprendiamo qui lo studio come appli¬ 
cazione delle formolo generali stabilite nella Parte l a . 
Come nelle mie ricerche del 1899. riportate nelle Lesioni (loc. cit.), genera¬ 
lizziamo le questioni che portano ai teoremi di Guichard, proponendo il problema: 
Per quali congruenze di sfere accade che, in qualunque deformazione della super¬ 
ficie dei centri\ una delle falde dell’inviluppo conserva la medesima curvatura 
media costante ? 
Risulterà poi dalla discussione che la proprietà ha luogo necessariamente anche 
per la seconda falda, se si verifica per la prima, circostanza questa molto impor¬ 
tante per l’inversione dei teoremi di Guichard e le conseguenti trasformazioni di 
(>) Cfr. voi. II, Gap. XVII, 
