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Questa è una relazione lineare in D , D', D" (con coefficienti funzioni di u , v) 
che, avendo luogo per ipotesi in tutte le flessioni, deve risolversi in un’ identità, e 
per ciò essa avrà luogo anche cangiando il segno di ]/ \ — ^/,R nell’opposto, ciò che 
prova intanto: anche La seconda falda 2' conserverà la medesima curvatura media 
costante H. 
Ora, eguagliando a zero nella (6) i coefficienti di D , D', D', otteniamo in primo 
luogo il sistema seguente: 
(I) 
HR-f 1 
11 HR 2 + 2R 
Eo 
_ HR + 1 __ HR+1 
12 HR 2 + 2R 0 ’ 22 HR 2 +2R^' 
poi eguagliando a zero il termine indipendente da D , D' , D", col tener conto delle 
precedenti, si ha con breve calcolo: 
( 7 ) 
Ko (HR 2 + 2R) 2 ‘ 
Però quest’ultima (7) può trascurarsi come conseguenza delle (1) stesse, poiché 
formando dalle (I) i binomii 
7)Rll 7)Ri2 DRj2 7)Ki2 
~òu ~òu ì>v ’ 
coll’applicare le identità (20) § 5, si trova appunto la (7). Così la nostra questione 
è ricondotta ad esaminare se esistono forme del ds 2 per la superficie S dei centri, 
tali che il sistema differenziale (I) per Y incognita R ammetta soluzioni. Si osservi 
intanto che il sistema (I) è un caso particolare di quello (85) già incontrato al § 10 
Rn : Hi2 • R 22 = E 0 : F 0 : G 0 , 
onde possiamo già inferire che: la superficie S dei centri sarà applicabile sopra 
una superficie di rotazione e la congruenza di sfere rimarrà una congruenza di 
Ribaucour per qualunque deformazione. 
Il problema si riduce dunque a ricercare per quali forme del ds 2 di una super¬ 
ficie di rotazione 
ds 2 = du 2 -f- r 2 dv 2 [r = (f(u) ] , 
avviene che la funzione R definita dalla forinola (§ 10) 
soddisfi alle (I). Il calcolo verrà eseguito nei prossimi paragrafi ; ma qui conviene 
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