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ancora osservare che del sistema (I) si può facilmente assegnare un integrale primo. 
Applicando infatti le formole (15) del § 4, troviamo per le (I) : 
1 D^R HR+1 DR 1 V,R HR+1 DR 
2 Dm 1 , ) HR 2 -f-2R^ ’ 2 ì!) ~ 1 lU) HR 2 -f-2R Dy * 
ossia 
7) log (1 — 4,R) = __ pl og(HR 2 -f 2R) ^ log (1 — ^xR) = _ P log (HR 2 -}-2R) 
Dm Dm ' Dy py 
indi integrando 
(I*) 
1 — ^/jR = 
c 
HR 2 + 2R 
(c costante) 
che è appunto l’integrale primo cercato. 
Aggiungiamo poi l’altra osservazione, che interessa per il seguito, che alle tre 
equazioni (I) del secondo ordine possiamo sostituire la sola media di queste e 
l’altra (I*) del primo ordine, almeno finché nessuno dei due hinomii 
Dm Dy 
F 23 
Dm 
dr 
Dy 
si annulla. Poiché infatti, derivando logaritmicamente la (I*), mediante le (15) § 4, 
e tenuto conto della media delle (I), ne seguono le altre due. 
§ 31. 
Forme effettive del ds 2 . 
In primo luogo liberiamoci dal caso R = cost che porta soltanto al teorema di 
Bonnet, già ricordato alla fine del 19. Se infatti R è costante, le (I) dimostrano che 
deve essere HR + 1 = 0 o H = — | , mentre la (7) diventa K 0 = ^ , il che dà 
appunto il teorema di Bonnet. 
Supposto R variabile, scriviamo il ds 2 , che già sappiamo appartenere ad una 
superficie di rotazione, sotto la forma 
(8) ds 2 = T 2 dr 2 -J- r 2 dv 2 , 
dove T, come R, sarà una funzione di r da determinarsi. I valori dei simboli di 
Christoffel per la forma (8) (indicando con accenti le derivate rapporto ad r) sono 
( ìl\_ T_ 
\D~ T 
( 2 ) r 
( 22 ) 
> 
r 
q>2 
