— 479 — 
gono a passare pel fuoco, che rappresenta la prima falda dell’inviluppo, ridicendosi 
la seconda al piano direttore. Così resta nuovamente dimostrato il primo teorema 
di Guichard: 
Se il paraboloide rotondo rotola su qualunque sua deformata , il fuoco 
descrive una superficie d'area minima. 
Si noti che il paraboloide, essendo congruente (come ogni altra superficie di 
rotazione) colla sua superficie simmetrica, può farsi rotolare sopra l'una o sopra 
l'altra faccia della superficie S d’appoggio (cfr. § 11), generando così ambedue le 
falde dell’inviluppo. 
B la nostra analisi ha provato di più che nessuna altra superficie S 0 , accompa¬ 
gnata da un punto satellite 0, può godere della proprietà che rotolando S 0 su qua¬ 
lunque sua deformata, -il punto 0 generi sempre una superficie minima. Anzi il 
nostro risultato è ancora più generale: in nessun altro inviluppo di sfere avviene 
che, deformando comunque la superficie dei centri J l'inviluppo si conservi sempre 
ad area minima. 
Sulla dimostrazione qui data del primo teorema di Guichard facciamo da ultimo 
l’osservazione seguente. Noi ci siamo valsi della forma integrata del sistema diffe¬ 
renziale (I), che qui si scrive 
R22 
ma potevamo anche dedurre il risultato dal sistema differenziale stesso (quando si 
sappia che ammette soluzioni). E infatti da queste (13) segue la (7), cioè - 
K «J- 
K ° 4R* ’ 
;i)'] 
RlS - 
2 li 
F — 
7)R DB ' 
!>u ~òv 
= à[ G -(f) 
e con queste formolo si verifica subito che R soddisfa tanto alla prima equazione (I) 
dell’applicabilità § 5, come alla seconda (II) § 6; inoltre i valori di D 0 , D(,, D' 0 ' 
che se ne traggono, secondo le (19) § 5 e le (25) § 6, si riscontrano essere le 
due volte eguali e di segno contrario, e corrispondono quindi a due configurazioni 
simmetriche della superficie S dei centri. Esiste dunque una configurazione S 0 della S 
nella quale tutti i punti della superficie equidistano da un punto fisso 0 e da un 
piano fisso re. quindi la S 0 è un paraboloide rotondo che ha il fuoco in 0 e n per 
piano direttore. 
