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In fine, valendo la proposizione /?) per ambedue le falde dell’ inviluppo, ne ri¬ 
sulta che su questi i sistemi ortogonali si corrispondono, e si ha il terzo teorema: 
y) La corrispondenza fra i punti delle due falde a curvatura media co¬ 
stante dell'inviluppo nei teoremi di Guìchard è una corrispondenza conforme. 
Quest’ultima proprietà si riscontrerà fra breve valere in generale per tutte le 
superficie isoterme (a linee di curvatura isoterme) nelle trasformazioni D m di Dar- 
boux (ved. § 51). 
§ 35. 
Caso in cui l’inviluppo 2 rimane a curvatura totale costante. 
Nel secondo teorema di Guichard (§ 33) invece che sulle due coppie di super¬ 
ficie parallele a curvatura media costante, possiamo fissare l’attenzione sulle due 
superficie medie che sono a curvatura costante positiva = ^ e costituiscono le due 
falde dell’ inviluppo di sfere coi centri distribuiti sulla deformata S della quadrica 
rotonda e di raggio 
R = £ — a = a — q 1 , 
indicando con q , q' la distanza del centro della sfera dai due fuochi (q -j- q' = 2a). 
Se questa congruenza di sfere si deforma, flettendo S, le due falde dell’inviluppo 
conservano la medesima curvatura costante. Inversamente segue dal teorema stesso 
di Bonnet che le uniche congruenze di sfere nelle quali, per qualunque deformazione 
della superficie dei centri, una falda dell’ inviluppo conserva la stessa* curvatura co¬ 
stante positiva sono quelle ora osservate. Ma, dal punto di vista reale, si ottengono 
nuovi risultati se supponiamo la curvatura negativa. E in generale, senza distinguere 
per ora il segno della curvatura, trattiamo il problema : 
Trovare tutti gli inviluppi di sfere nei quali , comunque deformando la 
superficie S dei centri , una falda dell’inviluppo (conseguentemente anche la seconda , 
come si vedrà) conservi la curvatura costante ^ (h costante). 
Colle notazioni del § 8 dovremo avere r x r* — h cioè per la (III 2 ) § 8 
(R 2 — h) (r n r 22 — t\ 2 ) — R(E 0 t 22 — 2F 0 t 12 -f G 0 t m ) -f- E 0 G 0 — F£ = 0 , 
o, sostituendo per t u t 12 t 22 , i loro valori (32) § 8: 
(R 2 — h) | R u R 22 - R? 2 + K 0 (E 0 G 0 — F 2 ) — \/l -J X R (R 22 D — 2R, 2 D'-J-Rn D") j 
- R \ E 0 R 22 — 2F 0 R 12 + G 0 R u - t/l-^R (G 0 D -2F 0 D'+ E„D") j + 
+ E 0 G 0 — F 2 = 0 . 
