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Senza alterare la generalità è lecito fare k 2 — 1 (cangiando kr in r) e restano 
così le formole definitive 
/ R* =>-}-£* — a* 
( 23 ) • r * _j_ 
j rp 2 __ • _ 
f + a 8 ’ 
dove la costante b resta arbitraria. 
§ 37. 
Distinzione della superficie luogo dei centri in tre tipi. 
La forma del ds 2 corrispondente a queste formole (23) è 
t 2 — 1 - b 2 
ds 2 = —--- dr 2 -f- r 2 dv 2 
r 2 b 2 — a 2 
ed appartiene in ogni caso ad una quadrica lotonda immaginaria, come era facile 
prevedere. Ma ora, ponendoci del punto di vista reale, domandiamo di realizzare 
questo ds 2 con una superficie rotonda reale. Per determinare la curva meridiana 
2 = xp(r ), 
abbiamo 
xp\r) — - a =. 
]/r 2 -(- b *— a % 
ossia 
C dr 
J y r * _|_ b* — a* 
Manifestamente sono da distinguersi tre casi secondo che 
1) b 2 — a 2 , 2) b 2 <_a 2 , 3) b*>a 2 . 
1° caso. — La curva meridiana è 
s = a log r, 
e si ha la superficie di rotazione logaritmica. 
In questo caso la (23J dà semplicemente R = r e le sfere coi centri sulla su¬ 
perficie logaritmica toccano tutte l'asse, al quale si riduce una delle due falde del¬ 
l’inviluppo, mentre l’altra falda coincide coll’ordinaria pseudosfera. 
