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2° caso: b 2 <fa. — La curva meridiana ha l’equazione 
r = ]/ a 2 — b* cosh j 
e proviene dall’ordinaria catenaria 
r = a cosh 
accorciando le ordinate rispetto alla direttrice nel rapporto \/a* — b 2 :a. La super¬ 
ficie di rotazione corrispondente si dirà il catenoide accorciato. 
3° caso: b 2 f>a 2 . — La curva meridiana ha l’equazione 
r — \'b* — a 2 senh 
e la corrispondente superficie di rotazione si dirà il sinusoide iperbolico. 
Domandiamo in fine come si modificano, in questa interpretazione reale dei 
teoremi di Guichard per quadriche rotonde immaginarie, i teoremi complementari 
del § 34. Di questi il teorema a) resta nella medesima forma salvo che la defor¬ 
mata S 0 corrispondente a quel sistema coniugato permanente reale sulla superficie 
dei centri è immaginaria. Il secondo /?) è da sostituirsi coll’altro: 
I sistemi coniugati delle due falde a curvatura costante dell’ inviluppo si 
corrispondono fra loro ed ai sistemi coniugati della superficie luogo dei centri. 
Il teorema j') poi non ha più qui significato reale. 
§ 38 . 
Preliminari sui problemi d’inversione. 
I teoremi di Guichard stabiliscono, come si è visto, un intimo legame fra le 
deformate delle quadriche rotonde, reali od immaginarie, e le superficie a curvatura 
media costante (o nulla), ovvero colle loro parallele a curvatura costante. 
Propriamente, nei teoremi diretti, è la deformata della quadrica rotonda che si 
suppone data, e da questa risultano individuate due superficie minime, o quattro a 
curvatura media costante, o in fine due a curvatura totale costante, come falde dei 
corrispondenti inviluppi di sfere. Siccome però la determinazione delle deformate di 
una quadrica rotonda qualunque è un problema più complicato del problema ana¬ 
logo per la sfera, ossia della ricerca delle superficie a curvatura costante, così im¬ 
porta massimamente procedere alla inversione dei teoremi di Guichard (*) per de- 
P) Questa venne effettuata nella mia Memoria del 1899 nel tomo III. serie 3 a degli Annali 
di matematica. 
