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§ 39. 
Prime osservazioni sulle trasformazioni di Ribaucour. 
Abbiamo già detto chiamarsi trasformate di Ribaucour l’una dell’altra due su¬ 
perficie 2,2' che siano le due falde dell’inviluppo in una congruenza di sfere di 
Ribaucour, ossia: Due superficie 2,2' sono trasformate di Ribaucour l’una del¬ 
l’altra quando si corrispondono punto per punto, con conservazione delle linee di 
curvatura, e le normali in due punti corrispondenti P , P' si incontrano in un 
punto P equidistante da P . P\ 
Noi supponiamo ora data una delle due superficie, sia 2, e cerchiamo tutte le 
sue trasformate di Ribaucour. È facile vedere che il problema ammette infinite so¬ 
luzioni, dipendenti da un’equazione a derivate parziali del secondo ordine. Si tratta 
infatti di collocare in ogni punto P di 2 una sfera tangente, di conveniente raggio R, 
in guisa che alle linee di curvatura di 2 corrisponda sulla superficie S dei centri 
un sistema coniugato (§ 9), condizione che si traduce appunto in una equazione a 
derivate parziali del secondo ordine per R. Per presentare però le forinole delle 
trasformazioni di Ribaucour sotto la forma più utile per le applicazioni, e che si 
presta inoltre ad essere facilmente generalizzata per le questioni analoghe sui sistemi 
tripli di superficie ortogonali (e pei sistemi n pli ortogonali nello spazio ad n dimen¬ 
sioni), procederemo per un’altra via, e comincieremo dal dimostrare il teorema 
seguente : 
Se due superficie 2,2' sono trasformate di Ribaucour l’una dell’altra, le 
loro tangenti in punti corrispondenti a linee di curvatura corrispondenti si in¬ 
contrano. 
Riferiamo le superficie 2,2' alle loro linee di curvatura (u, v) ed, essendo 
P , P r due punti qualunque corrispondenti, indichiamo con x , y , z ; x , y' , z' le loro 
rispettive coordinate, con (X 3 , T 3 , Z 3 ) i coseni di direzione della prima normale, 
con X 3 , Y 3 , Z 3 quelli della seconda, infine con r 1 , r 2 i raggi principali di curvatura 
di 2 , con rf. r\ quelli di 2'. Se con R indichiamo il raggio della sfera che tocca 
2,2' in P , P f , le coordinate del suo centro saranno date da (x RX 3 , y -j- RY 3 , 
* + RZ 3 ) ed anche da (x' + RX 3 , y' -f- RY 3 , z -f- RZ 3 ), e per ciò avremo 
x “J - RX 3 = x’ -f- RX 3 , ecc. 
Derivando queste formole rispetto ad u, con riguardo alle formolo di Rodrigues 
J ^-^3 
0+S 
hx 
7)X 3 
~òx' 
— r z 
1)U 
ìx 
~òU 
\ ^ 2 , 
! ìu 
= r 9 
1)U 
D log R 
hu 
( x ' — x) = 0 , 
risulta 
