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e siccome dalle (45) risulta 
à* -f- y* + 5* = Sì 2 , 
abbiamo 
-,_ C# Cf Cz 
* — -f- y* + ’ y ~ x 2 + y- 4- V ’ * ~ F -f y 2 4- 5* ’ 
che sono appunto le formole d’inversione per raggi vettori reciproci rispetto ad una 
sfera di raggio f/C col centro nell’origine. 
È chiaro che nella congruenza di sfere colle due falde focali 2,2', inverse 
l’una dell’altra, tutte le sfere sono ortogonali alla sfera fissa fondamentale. Viceversa 
ogni congruenza di sfere ortogonali ad una sfera fissa ha falde focali inverse runa 
dall'altra ed è una congruenza di Ribaucour. Ma la proposizione dimostrata ci as¬ 
sicura che: 
Tutte le congruenze di sfere di Ribaucour si ottengono da quelle di sfere 
ortogonali ad una sfera (issa'applicando le trasformazioni di Combescure. 
§ 44. 
Trasformazioni di Ribaucour delle ligure sferiche e piane. 
Un caso limite dei risultati ora stabiliti merita di essere particolarmente con¬ 
siderato: è questo il caso in cui per superficie della coppia (2,2') di trasformate 
di Combescure della coppia (2 , 2') si prenda la sfera stessa unitaria, ossia quando 
2,2' siauo le due immagini sferiche rispettive di 2,2'. Si ottiene manifestamente 
questo caso quando nelle formole del paragrafo precedente si ponga 
H i — h] , H 2 = h 2 , (p = w . 
Le due figure sferiche 2 , 2' stauno fra di loro in questa relazione: le linee sfe¬ 
riche ortogonali (u , u) si corrispondono nelle due figure e le loro tangenti in punti 
corrispondenti si incontrano. 
Queste considerazioni ci portano a definire le trasformazioni di Ribaucour 
della sfera in sè stessa nel modo seguente. In una qualunque rappresentazione della 
sfera sopra sè stessa vi è uno (ed in generale) un solo sistema ortogonale della prima 
figura che si csnserva ortogonale nella seconda; queste linee sono le così dette lìnee 
principali della rappresentazione. Noi diremo che: una rappresentazione della sfera 
sopra sè stessa è una trasformazione di Ribaucour ^quando le tangenti corrispon¬ 
denti alle linee principali della rappresentazione s’incontrano. 
Nel caso che la rappresentazione della sfera in sè medesima sia conforme (ed 
in questo soltanto), le linee principali sono indeterminate, ma allora dimostreremo 
che, se la rappresentazione'è conforme diretta, vi è sempre un sistema ortogonale 
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