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(isotermo) della prima figura le cui tangeuti incontrano le corrispondenti della se¬ 
conda, ossia vale il teorema: 
a) Ogni rappresentazione conforme diretta della sfera sopra sè stessa è una 
trasformazione di Ribaucour. 
Intanto si osservi che in qualunque trasformazione di Ribaucour della sfera in 
sè, le tangenti alle linee principali corrispondenti si incontrano in un punto mani¬ 
festamente equidistante dai due punti di contatto, e l'analisi esposta ai §§ 40, 41 
resta in conseguenza applicabile. Per costruire analiticamente le trasformazioni di 
Ribaucour della sfera in sè, si può dunque assegnare arbitrariamente il sistema sfe¬ 
rico ortogonale (u , v) delle linee principali nella prima figura e se 
ds' 2 = hi du 2 -j- hi dv 2 
è l’elemento sferico corrispondente, le trasformazioni di Ribaucour corrispondenti si 
avranno integrando il sistema differenziale (III), ridotto alle prime due linee: 
(46) 
ìy i 
hv 
d>w 
1)U 
A* y 2 i — /?2i y\ 
= hi y 
1 
d)W 
~òv 
= h 2 yt; 
ogni terna (y x , y 2 , w) di soluzioni di questo sistema darà colle formolo (34) 
(47) XI = X, - (n X, + „ X, + aX.) 
là corrispondente trasformazione di Ribaucour. 
Resta che dimostriamo il teorema a ), ciò che facciamo colla semplicissima 
considerazione geometrica seguente. Se P , P sono due punti corrispondenti nella rap¬ 
presentazione conforme diretta della sfera, i due fasci di elementi lineari corrispon¬ 
denti per P, P r sono direttamente eguali e segnano sulla retta d’intersezione dei 
due piani tangenti in P, P' alla sfera due punteggiate projettive sovrapposte, ma 
discordi nel senso. I due punti uniti A , B della projettività sono dunque reali e 
distinti, ed i raggi (PA, PB) , (P'A, P'B) formano due coppie di raggi ortogonali 
corrispondenti, che si incontrano rispettivamente in A , B , c. d. d. 
Osserviamo poi che la nozione di trasformazione di Ribaucour si trasporta su¬ 
bito dalla geometria sferica alla piana, p. es. con projezione stereografica della sfera 
sul piano. La rappresentazione del piano sopra sè stesso è allora tale che ciascuna 
coppia di tangenti in punti P, P' corrispondenti alle direzioni principali corrispon¬ 
denti si incontrano in un punto equidistante da P , P' (‘). 
(*) Nel caso delle figure sferiche la circostanza sottolineata era già una conseguenza del¬ 
l’incontro. 
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