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Quanto alle formole per le trasformazioni di Ribaucour nel piano, sono le 
stesse (46) come nel caso della sfera e soltanto le relazioni (A) § 40 della seconda 
e terza linea che legano h x , 7i 2 , fi 12 , fi 2l vanno qui sostituite colle altre 
~òhì 
~èu 
fin hi 
Vn 
~òv 
— fin ht 
+ ^a = o 
~ÒV 
esprimenti che l’elemento lineare 
ds * = h\ du * -f- h\ dv % 
appartiene al piano. 
B qui da ultimo, sebbene ragioni di spazio ci vietano di considerare le trasfor¬ 
mazioni di Ribaucour in relazione colla teoria equivalente dei sistemi ciclici ( l ), 
vogliamo almeno indicare come si possono costruire geometricamente tutte le trasfor¬ 
mazioni di Ribaucour delle figure piane o sferiche: 
Presa ma qualunque superficie il, si costruisca il sistema oo 2 dì circoli 
normali alla superficie il ed al piano fisso (alla sfera fissa). I due punti P , P' 
in cui il circolo incontra il piano (la sfera ) descrivono due figure piane ( sferiche ) 
in trasformazione di Ribaucour. Le linee principali della rappresentazione sono 
quelle che corrispondono alle linee di curvatura di il. 
Questa costruzione può ricevere un’altra interpretazione in geometria non-euclidea 
quando si assuma il piano fisso (la sfera fissa) come piano limite (sfera limite) 
della metrica iperbolica. Le due figure descritte da P , P' sono allora le due imma¬ 
gini di il nella rappresentazione di Gauss, secondo la legge del doppio parallelismo 
non-euclideo. Viceversa due figure piane o sferiche in trasformazione di Ribaucour 
dànno le due immagini delle linee di curvatura di una superficie (o meglio di una 
serie di superficie geodeticamente parallele) nello spazio non-euclideo. 
Osserviamo ancora che ricorrendo invece alla metrica Cayleyana, nella quale la 
sfera fondamentale rappresenta l’assoluto, la costruzione delle trasformazioni di Ri¬ 
baucour per le figure sferiche assume la forma seguente : 
Si consideri una qualunque superficie 2. la sua polare reciproca 2 rispetto 
alla sfera e la congruenza formata dai raggi r che ne uniscono i punti corri¬ 
spondenti. I punti P , P' ove ogni raggio r incontra la sfera descrivono due figure 
in trasformazione di Ribaucour . 
(0 Cfr. voi. II, cap. XVIII. 
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