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§ 45. 
Forma di Eisenliart delle equazioni (III) di trasformazione. 
Ritorniamo alle forinole generali per le trasformazioni di Ribaucour delle super¬ 
ficie 2 date al § 41 e poniamole sotto una nuova forma data da Eisenhart, che in 
molte ricerche riesce più utile. Per questo introduciamo in calcolo, accanto ai coeffi¬ 
cienti H, , H 2 per la 2’, gli analoghi , Hj per la superficie trasformata 2', e 
insieme alle quattro funzioni trasformatrici y v , y 2 ,w , y> una quinta tp colla posizione 
(48) . Sì' = Yl + Yl + w> = 2<pyj. 
Allora le formolo (33) per le superficie trasformate si scrivono 
x' = se —- — (Yi X x -{- Yi X 2 + X 3 ) 
e queste derivate rapporto ad u , v colle forinole dei §§ 41, 42 e paragonate con 
le altre 
D<£ Tjf -rrr _ TT ’ V r 
-tll Al , ^ - -Li2 -^2 
Dm 
Dy 
dànno 
(49) 
TT , (f D lOg lp 
Hi — — ~ i n? — 
Y i Dm 
D log tp 
Yi ^ 
Ma dalle (48) derivando abbiamo 
(50) 
— (Hj Hi) i p — hiW — Pzi Y 2 
= (H* — H;) tp — hi w — /?12 Yi 
Dm 
Dy 
Paragonando queste colle due del sistema (III) 
_ o v ?Y± 
— Pl 2 Yi ) 
Dy 
Dm 
= fai Y i » 
e costruendo le corrispondenti condizioni d’integrabilità, si trova 
(51) 
du r 
21 
+ (H;-H,)fe|H; , ®=|a,-hh;-h«)^-|h; 
