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Riunendo le (49), (50), (51) alle equazioni (III) § 41, si ottiene il sistema 
delle equazioni di trasformazione sotto la nuova forma (di Eisenhart) : 
(IV) 
— h\ vo — 
R V 
-M ~ Y ‘ 
’ ~òv 
>L 
11 
§ a 
hw 
’ ~ÒV ~ 
Hv 
— Hi/i 
i)U 
tv 1 
« '■e 
II 
W _ H' t — ìft 
~ÒU (f 
II 
dh; 
~ÒV 
1 ITI' 
~ 1 + (Hl - 
- H,) — {. 
f ! 
IH 
hi Y2 
= !/».. + (Hi - h.) j h; 
Si osservi che nel sistema figurano le sette funzioni incognite: /i * Yì > w , <p , 
ip , H(, Hj, e le condizioni d’integrabilità sono soddisfatte in virtù delle (IV) stesse. 
Esso ha inoltre la forma risoluta rispetto alle derivate, delle quali mancano solo 
quelle di H( rapporto ad u, e quella di rapporto a v. In ordine ai ben noti 
teoremi d’esistenza ('), il sistema (IV) ammette soluzioni dipendenti da due funzioni 
arbitrarie; precisamente resta definita univocamente una soluzione se si dànno, per 
un particolare sistema iniziale di u , v p. es u — 0 , r = 0, i valori che assumono 
le cinque prime funzioni per u — 0 , v = 0 -, e inoltre le due funzioni arbitrarie 
di u , v rispettivamente cui si riducono la H( per v — 0, e la H* per u = 0. In 
fine si osservi che il sistema (IV) ammette l'integrale quadratico 
yì + y\ + ip — cost 
e pel nostro problema occorre scegliere i valori iniziali per modo che la costante 
del secondo membro si annulli. 
§ 46. 
Trasformazioni di Ribaucour-Guichard per le superfìcie d’area minima. 
Veniamo ora ad applicare le formolo generali stabilite per le trasformazioni di 
Ribaucour ai problemi d'inversione indicati al § 38. e in primo luogo ricerchiamo 
le trasformazioni di Ribaucour-Guichard per le superficie d’area minima. 
(*) Cfr. Darboux, Systèmes orthoyonaujc (2* me édition, 1910). 
