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Supponendo adunque che la superficie data 2 sia una superficie d’area minima, 
dovremo ricercare se esistono quelle sue trasformazioni di Ribaucour nelle quali il 
raggio R della sfera inviluppante soddisfa all’equazione (I*) § 30 
(52) 
1 —^,R = 
1 
2AR 
(k costante) 
dove la costante k verrà poi a significare il parametro del paraboloide rotondo il 
cui fuoco genera, nel rotolamento, la superficie minima 2. 
Per la forinola (40) del § 42, la (52) equivale all’altra 
w 
yì + ri 4- 
1 w 
2~k~y ’ 
ossia alla relazione quadratica fra le funzioni trasformatrici 
(53) 
y\ -f- y\ + "1“ = 0. 
Le considerazioni alla fine del § 30 provano che in tal caso la seconda falda 
sarà pure ad area minima (*) ed avremo una trasformazione di Ribaucour-Guichard 
Ma, anche senza appoggiarci a quelle considerazioni, dimostreremo ora direttamente 
che se per una superficie 2 esiste una trasformazione di Ribaucour le cui funzioni 
trasformatrici verifichino la relazione quadratica (53), la superficie 2 deve essere 
ad area minima; e viceversa, se 2 è una superficie minima, esistono oo* di tali 
trasformazioni. Che poi anche la seconda falda 2' sia ad area minima risulta da 
ciò che, per le proporzioni (35) segnalate al § 42. anche le funzioni trasformatrici 
inverse y[ ,y[,w',<p' soddisfano alla medesima (53). 
Si derivi l’identità supposta (53) rapporto ad u , v , e si avranno così le due 
nuove equazioni 
(54) 
■“ -f- A(H t w -f- h\ <f) -j- /3 21 y z -}- hi ic — 0 
òU 
-f- A(H 2 m) -j -h 2 g>) PnY\ -\- hìic — 0 
che paragonate colle due del sistema (III) 
dànno concordemente quale condizione d'integrabilità 
Hi h z -f- Hj/i! = 0 , 
ri + r 2 = 0 . 
ovvero 
^ R JR 
( x ) Basta per questo accertarsi che non si annullino nè —, nè — (cfr. nota § 42). 
oW oV 
