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La superficie’’.^ deve dunque essere ad area minima. Ma viceversa, se questo 
è, le (54) aggregate alle (111) § 41 dànno un sistema di equazioni differenziali 
totali nelle funzioni yi, y*, , <p, che è completamente integrabile e possiede l’in¬ 
tegrale quadratico 
y\ + YÌ + wì "h = cost. 
Basta dunque scegliere i valori iniziali delle funzioni trasformatrici in guisa da 
annullare la costante del secondo membro. A causa della omogeneità, restano così 
nella trasformazione, oltre la costante k (parametro del paraboloide), due costanti 
effeltioe come si era enunciato. In altre parole (cfr. § 38) : Ogni superficie d'area 
minima ammette oo 2 generazioni per rotolamento, fissato ad arbitrio il paraboloide 
rotondo rotolante . 
§ 47. 
Trasformazioni di Ribaucour-Guichard per le superficie 
a curvatura costante. 
In modo analogo a quello tenuto per le superficie minime effettuiamo la ricerca 
delle trasformazioni di Ribaucour-Guichard per le superficie a curvatura costante 
K = ]-, positiva o negativa (‘). 
Ih 
Basterà questa volta sostituire alla (52) l’altra, che proviene dalla (li*) § 35, 
1 
£(R 2 — h) 
(k costante) , 
e per la (40) del § 42 equivale alla relazione quadratica 
(55) y! + y* + (hk -f 1 )w‘ l — k(p 2 — 0 
fra le funzioni trasformatrici. 
Derivando questa rapporto ad u , v , si ottiene 
\ ~ = kRi<p — /?*, y 2 — (hk -f- 1 )h l w 
y V ^ v ! oU 
-zr 1 = kR z (f — 2 y, — (hk -j- 1 ) h 2 w 
(') Pel teorema di Bonnet questa include la corrispondente ricerca pel - la superficie a curva¬ 
tura media costante. 
