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e, paragonando colle 
ìy i 
Dv 
— ^y 2 
2^2 
hu 
— @n y 1 1 
risulta concordemente per le condizioni d’integrabilità 
ovvero 
Hi H 2 —— fi • fl\ fl 2 * 
r, r 2 — h . 
Dunque la relazione quadratica (55) fra le funzioni trasformatrici è compatibile 
soltanto colla ipotesi che la curvatura totale K della prima falda 2 sia costante = 
fi 
Ma allora anche la seconda falda avrà la medesima curvatura j , poiché le funzioni 
il/ 
trasformatrici inverse soddisfanno alla medesima (55). D’altra parte, nell’ipotesi 
se si aggregano le (56) alle (HI) § 41 si forma in y l ,y i ,tc,y> un sistema di 
equazioni ai differenziali totali completamente'integrabile e che ammette l’integrale 
quadratico 
yì -f- yl -f- (hk -f- 1) w 2 — kg> 2 = cost. 
Colle considerazioni stesse sopra esposte per le superficie ad area minima si ha 
dunque qui il risultato analogo: Ogni superficie a curvatura costante positiva , 
fissato il valore della costante k , ammette oc 3 trasformazioni di Ribaucour-Gui- 
chard in superficie colla stessa curvatura costante. 
Rimandando il lettore per lo studio ulteriore di queste trasformazioni al vo¬ 
lume 2° delle Lezioni ed alla Memoria nel tomo XIII, serie 3 a , degli Annali di 
matematica, trattiamo qui di una generalizzazione che si presenta molto spontanea¬ 
mente in queste ricerche. 
§ 48. 
Caso della relazione quadratica generale 
Ayf -{- Byf, -j- Cg > 2 -(- D io 2 -f- 2 k<pw = 0 . 
Domandiamo se esistono superficie 2 con trasformazioni di Ribaucour, le cui 
funzioni trasformatrici siano legate dall’identità quadratica 
(54) 
Ayf -f- Byf -f- Gip 2 -j- Div 2 2 k<pw = 0 , 
